微分幾何
昨日の記事を読み直してみると、最後の積分のところがかなり怪しそう。 あまり同じところにとどまっていてもつまらないので、そろそろ次に進みたい。 テキストの「2.2.3 正則ベクトル束の標準接続」のまとめ 正則ベクトル束 にはエルミート計量から定まる線…
のエルミート計量 以下で定義される はのエルミート計量となる。上では 上 上がのエルミート計量となることは、変換関数 によって のように変換されるため(より簡単に確かめられる)。 の曲率形式 このエルミート計量 を用いて 1次元複素射影空間 の正則直線…
正則ベクトル束の曲率形式と第1Chern形式についての具体例として、1次元複素射影空間 の超平面 の定める正則直線束 および のエルミート計量を定義し、曲率形式と第1Chern形式の計算を行ってみる。 1次元複素射影空間 1次元複素射影空間 は以下のように定義…
テキスト44ページに復帰。 を正則直線束、 を のエルミート計量とする。 このとき、の開集合上で決して0にならない正則枠 に対して とおくと、正則直線束 のエルミート接続の曲率形式 はと表される。 ここまでが昨年10月までにやった内容。 その続き。 上の …
3日前の続き。 位相空間上の層に対して、を係数とするコホモロジー群 を定義する準備として、の開被覆 に関するコホモロジー群を定義する。に関するコチェイン間に定義される写像 をコバウンダリ作用素という。 は を以下のように写すものとして定義される。…
ようやく長いサブルーチンコールが終わってメインに戻ることができそう。 復習を兼ね、正則ベクトル束のエルミート接続から読み直してみる。
一昨日の続き。 であることの証明は後でフォローすることにして事実として認めてしまうことにする。 すると が成り立つから、複素多様体M上の級複素直線束の全体と が同型であることを示せばよい。 これを確認する。id:kame_math:20061229 で見たように、変…
昨日の続きで、 複素多様体M上の級複素直線束の全体はAbel群をなし、それは群として と同型。 上の命題の証明が目標。 整数の定数層 M上の正則関数(の芽)の層 M上の決して0をとらない正則関数(の芽)の層 の 3つの層を使って、を示すのが第一段階。これが示せ…
下の命題の証明の続き。 複素多様体M上の級複素直線束の全体はAbel群をなし、それは群として と同型。 昨日書いたとおり、 整数の定数層 M上の正則関数(の芽)の層 M上の決して0をとらない正則関数(の芽)の層 の 3つの層を使う。 まず以下の命題を証明する。 …
階数1の複素ベクトル束、すなわち複素直線束の場合には、同値なものがどのくらいあるのか簡単にわかるという。 すなわち、M上の級複素直線束の全体はAbel群をなし、それは群として すなわちMの2次の整係数コホモロジー群と同型なのだそうだ。 その証明の第一…
多様体上の2つの複素ベクトル束 とが同値であるということを次のように定義する： 微分同相写像 で、各に対してファイバー が正則な線型写像になるようなものが存在するとき、複素ベクトル束は同値であるという。 M の一つの座標近傍をとり、 の(と同相な)フ…
が多様体上の複素ベクトル束であるということを、大雑把に不正確にまとめてみる。 Eは局所的に (UはMの開集合)とみなせるもの。別の V に対しても局所的に とみなせるが、前者と後者のの部分の複素座標は一般に異なるものをとり、その間の「座標変換」をの元…
de Rhamコホモロジーが一通り理解できたので、2ヶ月ぶりに元に戻って「微分幾何講義」第2章 44ページから再開することにする。このテキストに 複素直線束の曲率形式はエルミート計量の取り方によらないド・ラーム類を定め、このド・ラーム類の倍は 第1チャー…
多様体の任意の(可縮な)開被覆 が与えられたとする。 この被覆から作られる k単体 に 上の微分形式を対応させる写像 で、の並べ換えに関して交代的に符号が変わるものの全体を と書く(k cochain)。これに対して2つの作用素 を下で定義することにより、らの 2…
Cechコホモロジーなるものを導入し、それがde Rhamコホモロジーと同型であることを示す方向に進む。何のために特異コホモロジーを定義したのかわからなくなった。
多様体には 2種類の co-chain complex が定義できて、一つは de Rham complex もう一つは 特異co-chain complex 。特異chain上の積分を利用することにより、 となるそうだ。これからしばらく時間をかけてこの証明に挑む。
多様体の微分k形式の、特異k単体 上の積分は以下で定義される： これを基に一般の特異kチェイン上の積分も定義される： Stokesの定義の証明途中に現れる計算に関するメモ 特異k単体に対し、 と定義した。そこで 微分(k-1)形式の積分 を計算するとき、 となる…
多様体Xの特異k単体に対する境界作用素を定義してチェイン複体を作りたい。 Xの特異kチェイン全体の集合を と表すとき、 を以下で定義する。まず特異k単体に対して、 と定義するそうだ。 ただし、は以下のように定義される。 これが意味がよくわかりにくいの…
標準k単体というものが以下のように定義される：は0と1を結ぶ線分、は原点と(0,1),(1,0)を結んでできる三角形ということになる。位相空間Xに対して、 なる連続写像を特異k単体と呼ぶ。 Xが多様体で、が写像のときは 特異k単体と呼ぶ。そして特異k単体全体が…
おぼえがき(1) 証明には微分2形式は一意に(2,0)型、(1,1)型、(0,2)型の和で表されることを使う。 おぼえがき(2) を正則直線束、hをそのエルミート計量としたとき、 証明には、たぶん以下を使えばよいと思われる。 より
単に複素多様体 のエルミート計量 と言った場合、M の正則接ベクトル束 のエルミート計量のことであると約束する。 エルミート計量を持つ正則ベクトル束正則ベクトル束 には hと両立する線形接続 が一意に存在する。これを正則ベクトル束の標準接続という。…
正則関数からなる変換関数系を一つ定めることが、複素直線束を一つ定めることなんだな。ようやく実感が湧いてきた。 が複素直線束 A の変換関数系で、 が複素直線束 B の変換関数系のとき、 は の変換関数系を定める。 だから、 の直線束 について考えてみる…
なかなか接続の話に届かない。今しばらく準備がつづく。 複素ベクトル束のエルミート計量 複素ベクトル束 に対し、h が E のエルミート計量であるとは、M の各点 p において が正値エルミート形式であることをいう。 M の点 p を固定する。 の局所枠 をとる…
やっと正則直線束の定義が理解できたので次に進む。 正則直線束の例(複素射影空間の超平面束) p40「例2.2.17」について。 1次元複素射影空間 の余次元1の複素部分多様体 によって先日のやり方で定まる正則直線束 を の超平面束という。と定義する。ただし右…
正則直線束の例 p39〜40に書かれている「例2.2.16」について。 ファイバー座標の変換関数については詳しく書かれているのだが、ファイバーをどのように定義しているのか明記されてないので混乱してしまった。まず「例2.2.16」の主張そのものがなんなのかしば…
「2.2.2 部分多様体の幾何学」については 3次元ユークリッド空間内の曲面M の場合、ガウス曲率と断面曲率が等しい(定理2.2.14, p38)。 の証明の計算に手間取るもなんとか行間を埋め無事完了。 つづいて 「2.2.3 正則ベクトル束の標準接続」(p39〜48) に入る。…
リーマン多様体からその部分多様体への誘導計量。 を、部分多様体のリーマン多様体への埋め込みとする。 リーマン多様体のリーマン計量をとするとき、誘導計量と呼ばれるの計量を以下で定義する： 誘導計量をの第1基本形式ともいう。 例：3次元ユークリッド…
いつも使っているパソコンからアップができなくなってしまった。クリストッフェルの記号 第1構造方程式 曲率テンソル リッチテンソル スカラー曲率などに関する内容を読んでいろいろ計算したりしてこの1〜2週間を過ごした。リッチテンソルがリーマン計量の実…
続いて 2.2.1「リーマン多様体」(p29〜35)に入る。 まずはリーマン計量、リーマン多様体の定義とその上の線形接続の一意存在について。 リーマン多様体 リーマン計量 g を持つ多様体 M をリーマン多様体という。 g は M上の 2次対称テンソルで、∀p ∈ M にお…
曲率形式について成立する命題(昨日のやつ) の X, Y のところに を代入する。M は 級 と仮定しているので、2階微分の順序は交換可能なので であるから、よって、曲率形式とは 方向と 方向の共変微分の可換の度合を計るものと解釈できる。 共変外微分 接続(共…
