同値な複素ベクトル束

微分幾何

C^{\infty}多様体M上の2つの複素ベクトル束 \pi:E \to M と \pi': F \to Mが同値であるということを次のように定義する：

微分同相写像 h: E \to F で、各 x \in Mに対してファイバー E_x \to F_x が正則な線型写像になるようなものが存在するとき、複素ベクトル束 E, Fは同値であるという。

M の一つの座標近傍 U_{\alpha}をとり、
\displaystyle \pi^{-1}(U_{\alpha}) \simeq U_{\alpha} \times \mathbb{C}
の(\mathbb{C}と同相な)ファイバの局所座標を z_{\alpha}
\displaystyle \pi'^{-1}(U_{\alpha}) \simeq U_{\alpha} \times \mathbb{C}
のファイバの局所座標を w_{\alpha} で表すことにする。

そうすると同値を与える h: E \to Fは、 \pi^{-1}(U_{\alpha})上では以下のような変換を引き起こす：

\displaystyle h: (x,z_{\alpha}) \mapsto (x,w_{\alpha}) = (x, h_{\alpha}(x) w_{\alpha})

ここで同値の定義により、 h_{\alpha}(x): z_{\alpha} \mapsto w_{\alpha} は正則な線型写像。

変換関数と h_{\alpha}の関係

上の複素ベクトル束 E, Fの変換関数をそれぞれ f_{\alpha\beta}, g_{\alpha\beta} とすると、 x \in U_{\alpha} \cap U_{\beta}において

\displaystyle g_{\alpha\beta}(x) = h_{\alpha}(x) \cdot f_{\alpha\beta}(x) \cdot h_{\beta}(x)^{-1}

を満たすことが複素ベクトル束が同値となるための条件となる。

これを示すには、変換関数の定義
\displaystyle z_{\alpha} = f_{\alpha\beta}(x) \cdot z_{\beta}
\displaystyle w_{\alpha} = g_{\alpha\beta}(x) \cdot w_{\beta}
と、
\displaystyle w_{\alpha}=h_{\alpha}(x)\cdot z_{\alpha}
\displaystyle w_{\beta}=h_{\beta}(x)\cdot z_{\beta}
の計4式からz,wを消去してやればよい。