は の正則写像で、 の 4点を分岐点として持つ。 はで広義一様収束するからこれを項別微分できて、 となる。 の の近傍におけるローラン展開を用いて、面倒な計算を行うことによりという微分方程式が成立することがわかる。ここで は以下のように定義される：…

§4.3「アフィン平面代数曲線」に入る。 ちょっと先を覗き見してみると多項式環だのガロア拡大だの難しそうな用語が並んでて心配。

関数の の部分の収束に関するメモ。テキストp78中ほどに、に対し、のとき、 とある。不等式がなぜ成立するか悩んだので行間を埋めておく。

は上を周期とする2重周期関数であり、1次元複素トーラス上の有理型関数とみなせる。これをというコンパクトリーマン面からコンパクトリーマン面への正則写像とみなすことができる。 はにのみ2位の極を持つので、であって、は被覆次数2 の正則写像となる。

関数は次のように定義される。ちょっと時間がかかったが、右辺の級数が収束し 2重周期性を持つ上の有理型関数であることを確認した。 2重周期性を持つのを確認するのに、を微分しなければならないようだ。は1次元複素トーラス 上の にのみ2位の極を持つ有理…

はペーと読む。その収束を証明するのに使う補題が以下であるが、証明がカッコイイと思ったのでメモっておく。 は上一次独立な複素数が複素平面上に作る格子として、 は実数で、 ならば は収束する。 とおく。 とすると、 となる。そこで、 とおくと、。 とな…

少し間が空いてしまった。まとまった自由な時間が欲しい今日この頃。さて、1次元複素トーラス 上の有理型関数を考える。 上の有理型関数は、の周期の2重周期関数となる。 上の有理型関数を という正則写像とみなすと、 はコンパクトリーマン面からへの正則写…

1次独立な複素数の作る平行四辺形の辺や頂点に乗っている場合の近傍の扱いがめんどくさい。

4章「いろいろなリーマン面」に入った。この章では具体的な大事なリーマン面がいろいろ出てくるらしい。 §4.1「複素多様体」では一般次元の複素多様体の定義を行い、その閉部分多様体が定義された。コンパクトリーマン面から複素多様体への正則写像で単射で…

§3.4「微分形式の外微分」、§3.5「微分形式の引き戻し」を読了。 昨日から §3.6「正則写像の分岐と有理型微分形式」に入る。 次の問題3.11 の答が巻末の略解と合わず悩む。 問題3.11(p62) で与えられる から自分自身への写像を とおく。 を で与えられる 上…

下は置いといて、とりあえず3章読了。

3.2「微分1形式」、3.3「微分2形式」読了。 リーマン面は1次元複素多様体なので、3次以上の微分形式はない。

§3.1「複素接ベクトル空間と余接ベクトル空間」読了。 複素多様体の既知の内容の復習。

§2.3「コンパクトリーマン面上の正則写像」読了。 ともにコンパクトなリーマン面だと、定数写像でない正則写像は全射となる。 がコンパクトでないとは定数写像となり、とくにコンパクトリーマン面上の大域的正則関数は定数関数のみになる(はコンパクトでない…