統計検定1級の問題(1)

2017年の統計検定1級、統計数理の問題を解いていて、解答が難しかったのがあったのでメモしておく。

確率変数 $X$ に関して $E[X]=\mu,V[X]=\sigma^2$ とする。
$X_i(i=1,\cdots,n)$ を $X$ と同じ確率分布に従う、独立な確率変数列とする。
$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$
とする。
$X$ の尖度を
$\beta_{2} = \frac{E[(X-\mu)^{4}]}{\sigma^{4}}-3$
で定義する。

上の前提で以下の問題がある。

問1(3) $\bar{X}$ の尖度を $\beta_{2}$ と $n$ で表せ。

$\bar{X}$ の尖度を $\beta_{2}(\bar{X})$ と書くことにする。

この問題に先立つ問1(1)において、次の式が成立していることを示しているので、これらは自由に使う。

$E[\bar{X}]=\mu$
$V[\bar{X}]=\frac{\sigma^{2}}{n}$
$E[X-\mu]=0$
$E[(X-\mu)^{2}]=\sigma^{2}$

補題1

$E[(\bar{X}-\mu)^4] = \frac{1}{n^{4}} E[( \sum_{i=1}^{n} (X_{i}-\mu))^{4}]$

補題2

$E[( \sum_{i=1}^{n} (X_{i}-\mu))^{4}] = \sum_{i=1}^{n} E[(X_i-\mu)^{4}] + \sum_{i \neq j}E[(X_i-\mu)^{2}]E[(X_j-\mu)^{2}]$

補題3

$\sum_{i=1}^{n} E[(X_i-\mu)^{4}] = n E[(X-\mu)^{4}]$

補題4

$\sum_{i \neq j}E[(X_i-\mu)^{2}]E[(X_j-\mu)^{2}] = 3n(n-1) \sigma^{4}$

上の3つの補題が示せれば、答は $\beta_2(\bar{X}) = \frac{\beta_{2}}{n}$ であることが、少し長い計算になるが、比較的簡単に示せる。

$\beta_2(\bar{X}) = \frac{E[(\bar{X}-\mu)^{4}]}{(\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}})^{4}} - 3$
$= n^{2} \frac{E[(\bar{X}-\mu)^{4}]}{\sigma^{4}} - 3$
$= \frac{n^{2}}{\sigma^{4}} E[(\bar{X}-\mu)^{4}] - 3$
$= \frac{n^{2}}{\sigma^{4}} \frac{1}{n^{4}} E[( \sum_{i=1}^{n} (X_{i}-\mu))^{4}] - 3$ …(補題1より)
$= \frac{n^{2}}{\sigma^{4}} \frac{1}{n^{4}} (n E[( X_{i}-\mu)^{4}] + 3n(n-1)\sigma^{4}) - 3$ …(補題2,3,4より)
$= \frac{1}{n} \frac{E[(X_{i}-\mu)^{4}]}{\sigma^{4}} + \frac{3(n-1)}{n} - 3$
$= \frac{1}{n} (\frac{E[(X_{i}-\mu)^{4}]}{\sigma^{4}} - 3) + \frac{3}{n} + \frac{3(n-1)}{n} - 3$
$= \frac{1}{n} (\frac{E[(X_{i}-\mu)^{4}]}{\sigma^{4}} - 3) + \frac{3}{n} + 3 - \frac{3}{n} - 3$
$= \frac{1}{n} (\frac{E[(X_{i}-\mu)^{4}]}{\sigma^{4}} - 3)$
$= \frac{1}{n} \beta_2$
$= \frac{\beta_2}{n}$ //

あとは補題1〜4を示せばよい。補題4がやや面倒くさい。

つづく。