昨日定義したとを使ってと定義する。このとき実は、 となっている。これが証明できるとが全射であり、コンパクトリーマン面に対するセールの双対定理の証明が完了したことになる。とはが成り立つことなので、まずはを計算してみるところから始まる。 とおく…

上記 が全射であることの証明のつづき。 をとったとき、 となるような が存在することを示すのが目標。 という因子を導入した。が単射であることはすでに証明されたので、とくに も単射。また上のを利用して、 という写像が定義できるが、これも単射。 への …

上記写像 が単射であることが示せたので半分証明が終わった。 あと残り半分。また長い。 が全射であること が任意に与えられたとする。はという線型写像である。 このときの元で、となるようなものを具体的に見出してやればよい。 を見つけてやるために、と…

前のつづき。具体的に を計算する作業を行う。を基に、大域的1形式をうまく作ってGreenの定理を使えるように持っていくのがコツらしい。 点の開近傍を因子のサポートと交わらないように十分小さくとる。をの局所座標でとなるようなものとする。 とおくと、 …

: としよう。は上の大域的な関数とみなせるが、コホモロジーの次元があがるほど、生存のための条件が厳しくなり、ついには消滅するとイメージできるようになった。

この証明は長い。テキストではこの後7ページ以上がこの証明に費されている。ポイントとなる点をメモしておきたい。 と が以下の写像により同型であることを示せばよい。 が単射であること をとったとき、であれば であることを示せば は単射となる。 である…

: コンパクトリーマン面 : 上の因子 このとき 先日定義を確認した留数写像とカップ積の合成から、上の双一次形式 を作ることができる： これが非退化であることを示せばよい。

もうしばらく準備がつづく。 上はカップ積と呼ばれる双一次写像の定義。 定義の意味を確認しておく。まず について。 と書けて、は上の有理型1形式で、 を満たすようなもの。を貼り合わせて が作られる。 であるから上では が成立している。次に について。 …

という同型は、0でない有理型1形式を一つとって によって成立。をで置き換えてよって

次の層の系列は完全列となることを昨日確認した。これから以下の長完全系列が誘導される。第5章の結果から なので、以下が完全系列となる。これから が全射となる。したがってに対し となる が存在する。このときとなるので、の選び方にはの分だけ自由度があ…

まず記号の確認。 上の正則1形式の集合。 正則関数により局所的にの形に表される。 上の級(1,0)形式の集合。 級関数により局所的にの形に表される。 上の級2形式の集合。 級関数により局所的にの形に表される。 次の層の系列は完全列となる：(は包含写像、は…