第4章 §16「ベクトル場」に入る。 多様体のベクトル場の定義と基本的な公式（線型性、座標変換など）の確認まで。級関数を微分すると 級になり扱いにくくなるので、これ以降は級関数のみ扱うという。 ここまでで重要そうと思ったのは補題16.4(p229)。すなわ…

§15の後半は、臨界値の集合があまり多くないという Sardの定理の紹介。証明はないので斜め読みで飛ばして節末の演習問題に入った。 7元連立1次方程式を解かなければならない問題があって難しかく、やっと解けた。

が onto であるということは、ヤコビ行列 の rank が n = dim N に等しいということなので、ある点 p∈M が正則点であるか臨界点であるかを調べるには、具体的に の rank を求めればよい。臨界点とは高校の微分でも出てくる極値に相当するものらしい。N の点…

一週間ぶりに多様体のお勉強に戻る。続いては、松本「多様体の基礎」§15「正則点と臨界点」。M, N をそれぞれ m次元、n次元の 級多様体、 を 級写像とする。 写像 f の正則点とは、 が上への線型写像になるような M の点 p のことをいうそうだ。正則点でない…

積分順序の変更 2変数関数 f(x,y) を [a,b]×[c,∞) 上の関数とするとき、 が成り立つための条件を考える。上式は という意味なので、 とおくと、f が有限な範囲 [a,b]×[c,u] では積分順序の交換できるような関数とし、 という式変形ができれば成立する。すな…

項別積分(極限と積分の交換) が有界閉区間 [a,b]上で連続で、[a,b]上で が f に一様収束するとき、 n → ∞のとき、 が f に一様収束することから、右辺→0。 ちなみに f は連続関数列の一様収束極限だから[a,b]で連続ゆえ[a,b]で可積分。上では積分範囲を有界…

「実関数 f が区間 [a, b) で可積分で」なんて書いてしまったが、どんな関数が可積分なのかの注意がずさんであった。 微積分の教科書によると、まず積分範囲は有界閉区間I上の場合を考えて、fのリーマン和を考え、その分割を小さくしていった極限をfの積分と…

一部表示できないブラウザがあったので、一番シンプルなデザインに変更した。職場の都合で古いバージョンのNetscapeしか使えないシステムがあるので。

関数fが閉区間上で連続かもしくは区分的に連続な場合以外の積分の理解がかなり怪しいので、一度きちんと整理して証明もフォローして勉強しなおしておこうと思う。 広義積分が収束するための条件 実関数 f が区間 [a, b) で可積分で、b において有界でないと…

「多様体の基礎」§14「１の分割」をやっと読み終えた。 証明がやたらに長いのと、局所有限というのがなかなかイメージがつかめなくて大変だった。 演習問題もだんだん難しくなっている。 なれてくるととっても便利なツールであるというのがだんだんわかって…

いろいろ本を読んでいるのだが、結局、微積分や線型代数の基礎的な計算体力が足りないのを実感する今日このごろ。地道な演習が重要だと痛感する今日この頃。

正月は数学のお勉強も一休み。 フーリエ解析の本を、行き返りの電車の中と帰省先で酔っ払いながら読んだのみ。読んだのは熱方程式の解き方とフーリエ級数の収束の条件に対する話題で、酔っ払いながら読んでいるとなんとなくわかった気分になるのだが、翌朝に…

Ring::Math にご招待いただいてから、ごあいさつもさぼっておりましたので、新年のごあいさつを兼ね、御礼申し上げたいと思います。よろしくお願いいたします。Ring::Math の他の方々の書かれた内容を見ると、ちょっとレベルが高すぎて、まだついていけない…