特異チェイン - 第2kame日記

標準k単体 $\Delta^k$ というものが以下のように定義される：

$\displaystyle \Delta^k := \{$x_1,\cdots,x_k$ \in \mathbb{R}^k \| x_i\ge 0, \sum_{i=1}^{k} x_i \le 1\}$

$\Delta^1$ は0と1を結ぶ線分、 $\Delta^2$ は原点と(0,1),(1,0)を結んでできる三角形ということになる。

位相空間Xに対して、
$\sigma: \Delta^k \to X$
なる連続写像を特異k単体と呼ぶ。
Xが $C^\infty$ 多様体で、 $\sigma$ が $C^\infty$ 写像のときは $C^\infty$ 特異k単体と呼ぶ。

そして特異k単体全体が生成する自由加群を特異kチェインと呼ぶそうだ。連続写像の場合、特異1単体を考えて見ると、[0,1]上の連続関数だから無数に存在する。これらの整数係数の一次結合全体が特異1チェインであるということらしい。