曲率形式・Bianchiの恒等式

微分幾何

曲率形式\Thetaについて成立する命題(昨日のやつ)
\displaystyle \Theta\(X,Y\) = \nabla_X \nabla_Y - \nabla_Y \nabla_X - \nabla_{[X,Y]}
の X, Y のところに
\displaystyle X = \frac{\partial}{\partial x^i}, Y = \frac{\partial}{\partial x^j}
を代入する。M は C^{\infty}級 と仮定しているので、2階微分の順序は交換可能なので
[\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j}] = 0
であるから、

\displaystyle \Theta\(\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j}\) = \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^j}} - \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^j}} \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}}

よって、曲率形式とは \frac{\partial}{\partial x^i}方向と \frac{\partial}{\partial x^j}方向の共変微分の可換の度合を計るものと解釈できる。

共変外微分

接続(共変微分) \nabla は実関数(0次微分形式)を 1次微分形式に写す演算子であったが、これを高次の微分形式に拡張したものが 共変外微分で
\displaystyle d^{\nabla}
という記号で表す。定義は以下の通り：

\displaystyle d^{\nabla}: \Gamma\(E \otimes (\wedge^{p} T^{*}M )\) \ni s \otimes \alpha \mapsto \nabla s \wedge \alpha + s \otimes d\alpha \in \Gamma\(E \otimes (\wedge^{p+1} T^{*}M )\)

p=0のときは d^{\nabla} = \nabla。

演習問題2.1.16(p29)

(1) d^{\nabla} \circ d^{\nabla} = \Theta を示せ。

\displaystyle \begin{eqnarray} d^{\nabla} \circ d^{\nabla} \(\bf{e}\) &=& d^{\nabla} \( \nabla \bf{e} \) \\ &=& d^{\nabla} \( \bf{e} \otimes \theta \) \\ &=& \(\nabla \bf{e}\) \wedge \theta + \bf{e} \otimes d\theta \\ &=& \(\bf{e} \otimes \theta\) \wedge \theta + \bf{e} \otimes d\theta \\ &=& \bf{e} \otimes \(\theta \wedge \theta + d\theta) \\ &=& \bf{e} \otimes \(d\theta + \theta \wedge \theta) \\ &=& \bf{e} \otimes \Theta \end{eqnarray}

(2) d^{\nabla} \Theta = 0 (Bianchiの恒等式)を示せ。

ワカンネ。どうしても d^{\nabla} \Theta = \Theta \wedge \thetaとなってしまいこの先進まぬ。
→やっとわかった。二通りの方法で d^{\nabla} \Thetaを計算して、その結果を比較すると示すべき式が出てきた。と思ったが、やっぱりダメ。

一つ目の方法では
\displaystyle d^{\nabla} \Theta = \Theta \wedge \theta
となり、もう一つの計算では、
\displaystyle d^{\nabla} \Theta = \theta \wedge \Theta + d\Theta
が出る。これより
d\Theta = \Theta \wedge \theta - \theta \wedge \Theta
は示せた。この式をBianchiの恒等式と呼んでいる本もあるようだが、ここでの目標はこれではない。


つづく