高橋礼司「複素解析」を読んでいるのだが、なかなか複素積分が定義されず、積分を使わずにいろいろな話題が展開する。もしかしてかなり特殊な構成の本なのかもしれない。

の原点を通る直線全体の集合に対し、ある方法で位相、座標近傍系を定義すると m次元の 級可微分多様体となり、これを m次元射影空間といい、 と書くそうだ。 いろんな発展する話があるらしい。

久しぶりに上京したついでに本屋さんをのぞいた。 なんとなく手にした猪木・川合「量子力学I」を立ち読みすると、第７章「角運動量と対称性」はどこかで見たような内容。連続群論のSO(3), SU(2) の表現論にそっくりな内容だった。 これなら読めるかもと、購…

松本「多様体の基礎」が§10に入りだんだん難しくなっていく。 説明が丁寧すぎてかえってポイントがわかりにくくなっているのかもしれない。 定理の証明を何度も見直し、ようやく接空間のイメージがわいてきた。 §10では逆関数定理、陰関数定理の証明の後、２…

どのテキストにも証明なしで「明らか」と書いてある。直感的には明らかだが、どうやって証明するのかなと思っていた。やっと気がついた（と思う）。単純だった。 行列の成分の多項式で表されるから連続。これを使えば正則行列の行列式の値は 0 以外であるか…

逆関数定理を終え、続いて陰関数定理に入る。これまた長く時間がかかりそうだ。 多様体の勉強が目的だが、平行して微積分（特に多変数）の復習を意図している。といっていまさら微積分の教科書を精読する気分にもなれないのでちょうどいい感じだ。長く時間が…

逆関数定理の証明を理解するのがようやく終わった。 が十分に近く、 のとき、 が成立することを示すのがポイントらしい。

なんどもテキストを読み直してようやく意味がわかった。双対空間と似ているな。

は級で を満たし、f の点0におけるヤコビ行列 が単位行列になる場合の逆関数定理の証明のポイントメモ。 一般の場合はこの場合から容易に導ける。 であるから である。 が十分 に近いとき、はに十分近い。なぜならば f は 級なので は で連続であるから。 こ…

M, N をそれぞれ 級微分可能多様体で、 とする。 を 級写像とする。 が同型ならば、 p の開近傍 U と f(p) の開近傍 V があり、 で は級diffeomorphism である。 すなわち の逆写像 が存在する。M, N の座標近傍を適当にとると、対応する の基底に関して は…

気を取り直して再開。物体mを地表から重力 に逆らって高さh まで持ち上げるとき、持ち上げるためにした仕事は となる。ただし鉛直上向きに座標軸 z を取った。 物体m には一定の重力 が働いている。これをゆっくり持ち上げるとき、瞬間瞬間には力がつりあっ…

物理の本はどうも性に合わない感じなので、多様体のお勉強に集中。 ちょっと前から、松本幸夫「多様体の基礎」を読み始めた。 恐ろしく行間の狭い本だ。まったく行間がないと言ってもいい。 演習問題も拍子抜けするほどやさしい。 「連続群論入門」の演習問…

運動方程式を時間で積分すると、力積と運動量変化の関係式となったが、こんどは空間で積分してみる。 テキスト大学受験の高校生向けなので、空間で積分するのにとりあえず１次元で行っている。しかし、ここでは3次元空間の線積分を行うことにしてみる。 を …