微分形式のC^∞特異k単体上の積分

$C^{\infty}$ 多様体 $M$ の微分k形式 $\omega \in A^k(M)$ の、 $C^{\infty}$ 特異k単体
$\displaystyle \sigma: \Delta^k \to M$
上の積分は以下で定義される：
$\displaystyle \int_{\sigma} \omega := \int_{\Delta^k} \sigma^* \omega$

これを基に一般の $C^{\infty}$ 特異kチェイン $c = \sum_{i} a_i \sigma_i$ 上の積分も定義される：
$\displaystyle \int_{c} \omega := \sum_{i} \int_{\sigma_i} \omega$

Stokesの定義の証明途中に現れる計算に関するメモ

特異k単体 $\sigma: \Delta^k \to M$ に対し、 $\partial \sigma := \sum_{i=0}^{k} (-1)^{i} \sigma \circ \varepsilon_i$ と定義した。そこで微分(k-1)形式 $\omega \in A^{k-1}(M)$ の積分
$\displaystyle \int_{\partial \sigma} \omega$
を計算するとき、
$\displaystyle \int_{\partial \sigma} = \int_{\Sigma_{i} (-1)^{i} \sigma \circ \varepsilon_i} = \sum_{i} \int_{\sigma \circ \varepsilon_i}$
となるから、
$\displaystyle \int_{\sigma \circ \varepsilon_i} \omega$
を計算する必要がでてくる。このとき $\varepsilon_i$ による引き戻しと、 $\Delta^{k-1}$ および $\Delta^k$ の局所座標として使用する変数の関係がちょっとごちゃごちゃになりわかりにくい。
$\sigma \circ \varepsilon_i : \Delta^{k-1} \to M$ は特異k-1単体であるから、上で定義した特異単体上の積分の定義により、

$\displaystyle \int_{\sigma \circ \varepsilon_i} \omega = \int_{\Delta^{k-1}} (\sigma \circ \varepsilon_i)^* \omega = \int_{\Delta^{k-1}} (\varepsilon_i^* \circ \sigma^*) \omega = \int_{\Delta^{k-1}} \varepsilon_i^* (\sigma^* \omega)$

となる。 $\sigma^* \omega$ は $\Delta^k$ 上の微分 k-1形式。そこで $\Delta^k$ の入っている $\mathbb{R}^k$ の局所座標を $(x_1,\cdots,x_k)$ で表せば、

$\displaystyle \sigma^* \omega = \sum_{j=1}^k a_j(x_1,\cdots,x_k) dx_1 \wedge \cdots \wedge \hat{dx_j} \wedge \cdots \wedge dx_k$
と書ける。この $\Delta^k$ 上の微分 k-1形式を $\varepsilon_i: \Delta^{k-1} \to \Delta^k$ により $\Delta^{k-1}$ に引き戻したものを計算する。

$\Delta_{k-1}$ の座標を $(t_1,\cdots,t_{k-1})$ 、 $\Delta_{k}$ の座標を $(x_1,\cdots,x_{k})$ とすると、まず i=0 のときは、

$\displaystyle \varepsilon_0(t_1,\cdots,t_{k-1}) = (1-\sum_{i=1}^{k-1} t_i, t_1,\cdots,t_{k-1})$
だったので、写像 $\varepsilon_i$ の局所座標表示は、

$\displaystyle \begin{eqnarray} x_1 &= x_1(t_1,\cdots,t_{k-1}) &= 1-\sum_{i=1}^{k-1} t_i \\ x_2 &= x_2(t_1,\cdots,t_{k-1}) &= t_1 \\ \vdots \\ x_k &= x_k(t_1,\cdots,t_{k-1}) &= t_{k-1} \end{eqnarray}$

となる。したがって

$\displaystyle \begin{eqnarray} \varepsilon_0^*(x_1) &= 1-\sum_{i=1}^{k-1} t_i\\ \varepsilon_0^*(x_2) &= t_1 \\ \vdots \\ \varepsilon_0^*(x_k) &= t_{k-1} \end{eqnarray}$

また微分形式の引き戻しに関して $\varepsilon_i^{*}(d\omega) = d(\varepsilon_i^{*}\omega)$ ゆえ、

$\displaystyle \begin{eqnarray} \varepsilon_0^*(dx_1) &= -\sum_{i=1}^{k-1} d t_i\\ \varepsilon_0^*(dx_2) &= dt_1 \\ \vdots \\ \varepsilon_0^*(dx_k) &= dt_{k-1} \end{eqnarray}$

同様にして $\varepsilon_i$ の場合も計算できる。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \varepsilon_i^*(x_1) &= t_1 \\ \varepsilon_i^*(x_2) &= t_2 \\ \vdots \\ \varepsilon_{i-1}^*(x_k) &= t_{i-1} \\ \varepsilon_i^*(x_i) &= 0 \\ \varepsilon_{i+1}^*(x_k) &= t_{i} \\ \vdots \\ \varepsilon_{k}^*(x_k) &= t_{k-1} \\ \end{eqnarray}$

はじめ $\Delta^{k-1}$ の座標を $\Delta^{k}$ と同じ記号で $(x_1,\cdots,x_{k-1})$ と書いていたら混乱してしまった。