はじめての層係数コホモロジー(5)

3日前の続き。

位相空間 $M$ 上の層 $\cal{F}$ に対して、 $\cal{F}$ を係数とするコホモロジー群
$\displaystyle H^q(M, \cal{F})$
を定義する準備として、 $M$ の開被覆 $\cal{U} = \{U_i\}_{i\in I}$ に関するコホモロジー群を定義する。

$\cal{U}$ に関するコチェイン間に定義される写像
$\displaystyle \delta: C^{q}(\cal{U}, \cal{F}) \to C^{q+1}(\cal{U}, \cal{F})$
をコバウンダリ作用素という。 $\delta$ は $f \in C^{q}(\cal{U}, \cal{F})$ を以下のように写すものとして定義される。

$\displaystyle \delta f_{i_0 \cdots i_q} := \bigsum^{q}_{k=0} (-1)^{k} f_{i_0 \cdots \hat{i_k} \cdots i_q}|_{U_{i_0} \cap \cdots \cap \hat{U_{i_k}} \cap \cdots \cap U_{i_q} }$

$\displaystyle C^{q}(\cal{U}, \cal{F})$
と
$\displaystyle \delta: C^{q}(\cal{U}, \cal{F}) \to C^{q+1}(\cal{U}, \cal{F})$
からコチェイン複体が作られる。 $\delta \circ \delta = 0$ などの証明は単体複体や特異複体の場合とほとんど同様。
そこでこの複体から定義されるコホモロジーを

$\displaystyle H^{q}(\cal{U}, \cal{F}) := Z^{q}(\cal{U}, \cal{F})/B^{q}(\cal{U}, \cal{F})$

で定義する。 $Z^{q}(\cal{U}, \cal{F}), B^{q}(\cal{U}, \cal{F})$ は特異コホモロジーの場合と同様、コサイクルとコバウンダリの集合。

上で定義した $H^{q}(\cal{U}, \cal{F})$ は開被覆 $\cal{U}$ の取り方に依存して決まるように見えるが、開被覆の細分を取り続けてドンドン細かくしていった極限(帰納的極限)として層係数コホモロジー群が定義できるそうである。

$\displaystyle H^{q}(M, \cal{F}) := {lim}_{\rightarrow} H^{q}(\cal{U}, \cal{F})$

細かいところはめんどう(および理解不足)なので省くが、これでようやく層係数コホモロジー群が何であるかがわかた。

$H^{1}(M, \cal{O}^*)$ と複素直線束の対応

さて、ようやく $H^{1}(M, \cal{O}^*)$ の意味が理解できるようになったので、 $H^{1}(M, \cal{O}^*)$ と複素直線束全体の 1:1 対応を見出す作業に進める。

$H^{1}(M, \cal{O}^*)$ というものを見たら、とりあえず M の開被覆 $\cal{U} = \{U_i\}_{i\in I}$ を取り、 $H^{1}(\cal{U}, \cal{O}^*)$ を考えるのが定石のようだ。なのでこのような $\cal{U}$ を一つ取ることにする。このとき、

$\displaystyle c \in H^{1}(\cal{U}, \cal{O}^*)$

をとると、

$\displaystyle H^{1}(\cal{U}, \cal{F}) = Z^{1}(\cal{U}, \cal{F})/B^{1}(\cal{U}, \cal{F})$

であったから、 $c$ はある $f \in Z^{1}(\cal{U}, \cal{F})$ を用いて

$\displaystyle c = [f]$

と表すことができる。

2つの 1コサイクル $f, g \in Z^{1}(\cal{U}, \cal{F})$ が同じコホモロジー類に属するということは、

$f \cdot g^{-1} = \delta h$

となる 0コチェイン $h \in C^{0}(\cal{U}, \cal{F})$

が存在すること。今まで群の演算は加法ばかりを扱ったので、つい $f - g = \delta h$ としそうになるが、 $\cal{O}^*$ は乗法群と考えているので、 $f \cdot g^{-1} = \delta h$ としなければならない(これでしばらくはまって時間を浪費した)。

さて 1単体 $(U_i,U_j)$ を取ると、この上で $f, g$ が取る値は、
$\displaystyle f(U_i,U_j) = f_{ij} \in \Gamma(U_i \cap U_j, \cal{O}^*)$
$\displaystyle g(U_i,U_j) = g_{ij} \in \Gamma(U_i \cap U_j, \cal{O}^*)$
である。 $f \cdot g^{-1} = \delta h$ を満たす $h$ は 0単体 $U_i$ 上で
$\displaystyle h(U_i) = h_{i} \in \Gamma(U_i, \cal{O}^*)$
という値を取り、コバウンダリ作用素の定義から、
$\displaystyle \delta h_{i} = h_{j} \cdot h_{i}^{-1}$
となる。
これより $U_i \cap U_j$ 上で、
$\displaystyle f_{ij} \cdot g_{ij}^{-1} = h_{j} \cdot h_{i}^{-1}$
これを式変形すると下を得る。
$\displaystyle g_{ij} = h_{i} \cdot f_{ij} \cdot h_{j}^{-1}$

さて
$\displaystyle f_{ij}, g_{ij} \in \Gamma(U_i \cap U_j, \cal{O}^*)$
であるから、 $f_{ij}, g_{ij}$ は $U_i \cap U_j$ 上の 0 を取らない複素数値関数であるから、 $f_{ij}$ を変換関数とする複素直線束と $g_{ij}$ を変換関数とする複素直線束が定まる。そしてこのとき $h_{i}$ は 0 以外の複素数であり、
$\displaystyle g_{ij} = h_{i} \cdot f_{ij} \cdot h_{j}^{-1}$
という式は、 $f_{ij}$ を変換関数とする複素直線束と $g_{ij}$ を変換関数とする複素直線束が同値であるということである。
よって $H^{1}(\cal{U}, \cal{O}^*)$ の元は複素直線束の同値類に対応する。
極限移行して $H^{1}(M, \cal{O}^*)$ の元は複素直線束の同値類に対応するとしてよいらしい。層係数コホモロジー群は計算するときは、適当な開被覆をとってそのCechコホモロジーの計算を行えばよいようだ。