P^1(C)の超平面束の曲率形式と第1Chern形式(2)

$\cal{O}(k) = L_{kH}$ のエルミート計量

以下で定義される $h = \{h_0, h_1\}$ は $\cal{O}(k) = L_{kH}$ のエルミート計量となる。

$U_0$ 上では
$\displaystyle h_0(\bar{s}, s) := \frac{1}{(1 +|s|^2)^{k}}$
$U_1$ 上
$\displaystyle h_1(\bar{t}, t) := \frac{1}{(1 +|t|^2)^{k}}$

上が $\cal{O}(k)$ のエルミート計量となることは、変換関数 $\{(f_{01})^{k}, (f_{10})^{k}\}$ によって

$\displaystyle h_1 = {}^{t}\bar{(f_{01})^{k}} h_0 (f_{01})^{k}$
$\displaystyle h_0 = {}^{t}\bar{(f_{10})^{k}} h_1 (f_{10})^{k}$

のように変換されるため( $f_{01}=s=1/t, f_{10}=t$ より簡単に確かめられる)。

$\cal{O}(k) = L_{kH}$ の曲率形式

このエルミート計量 $h$ を用いて
1次元複素射影空間 $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})$ の正則直線束 $\cal{O}(k) = L_{kH}$ の曲率形式 $\Theta$ を計算してみる。
正則直線束の曲率形式は、底となる多様体の局所開近傍の取り方およびファイバーの局所正則枠の取り方に依らず一意に決まることはすでに確認済みであるから、適当な一つの局所正則枠を取って計算すればよい。
そこで $U_0$ 上の局所正則枠 $s$ を(昨日のように)取って、 $U_0$ 上のエルミート計量

$\displaystyle h_0(\bar{s}, s) := \frac{1}{(1 +|s|^2)^{k}}$
を使って、

$\displaystyle \Theta = - \partial \bar{\partial} log h_0$
を計算すれば $\cal{O}(k)$ の曲率形式が求まる。

以下計算。まず

$\displaystyle \begin{eqnarray} \bar{\partial} log $ \frac{1}{(1 +|s|^2)^{k}} $ &= & \frac{\partial}{\partial \bar{s}} log $ \frac{1}{(1 +|s|^2)^{k}} $d \bar{s} \\ &= & \frac{\partial}{\partial \bar{s}} log $ \frac{1}{(1 + s\bar{s})^{k}} $d \bar{s} \\ &= & \{ \frac{1}{\frac{1}{(1 +s\bar{s})^{k}}} \cdot (-k)(1 + s\bar{s})^{-(k+1)}\cdot s \}d \bar{s} \\ &= & \{ (1 +s\bar{s})^{k} \cdot (-k) \frac{1}{(1 + s\bar{s})^{(k+1)}} \cdot s \}d \bar{s} \\ &= & \frac{-k s}{1 + s\bar{s}} d \bar{s} \end{eqnarray}$

であるから、

$\displaystyle \begin{eqnarray} \Theta &= & - \partial \bar{\partial} log h_0 \\ &= & - \partial $ \bar{\partial} log \(\frac{1}{(1 +|s|^2)^{k}}$ \) \\ &= & - \partial $\frac{-k s}{1 + s\bar{s}} d \bar{s} $ \\ &= & - \partial $\frac{-k s}{1 + s\bar{s}} $ \wedge d \bar{s} \\ &= & k \frac{\partial}{\partial s} $\frac{s}{1 + s\bar{s}} $ ds \wedge d \bar{s} \\ &= & k \frac{(1+s\bar{s})-s\bar{s}}{(1 + s\bar{s})^2} ds \wedge d \bar{s} \\ &= & \frac{k }{(1 + |s|^2)^2}ds \wedge d \bar{s} \end{eqnarray}$

となる。

よって $\cal{O}(k)$ の曲率形式は、

$\displaystyle \Theta = \frac{k}{(1 + |s|^2)^2}ds \wedge d \bar{s}$

である。

第1Chern形式は、定義より

$\displaystyle \begin{eqnarray} c_1(\cal{O}(k),h) &:= & \frac{i}{2\pi}\Theta &= & \frac{ki}{2\pi} \frac{1}{(1 + |s|^2)^2} ds \wedge d \bar{s} \end{eqnarray}$

となる。

第1Chern類と基本類から決まる値

ところで $U_0$ 上の局所枠 $s$ は複素数であるが、これを実数 $x,y$ を使って $s=x+i y$ と表したとすると、
$\displaystyle ds = dx + i dy, d\bar{s} = dx - i dy$
となり、
$\displaystyle ds \wedge d\bar{s} = (dx + i dy) \wedge (dx - i dy) = -2i dx \wedge dy$
となる。そこで $\cal{O}(k)$ の第1Chern形式の式にこれを代入してみると、

$\displaystyle \begin{eqnarray} c_1(\cal{O}(k),h) & = & \frac{ki}{2\pi} \frac{1}{(1 + |s|^2)^2} ds \wedge d\bar{s} \\ &= & \frac{ki}{2\pi} \frac{1}{(1 + |s|^2)^2} (-2i) dx \wedge dy \\ &= & \frac{k}{\pi} \frac{1}{(1 + x^2 + y^2)^2} dx \wedge dy \\ \end{eqnarray}$

となり、 $c_1(\cal{O}(k),h)$ は実微分2形式で、 $d\Theta = 0$ も別途示せるから、

$\displaystyle c_1(\cal{O}(k)) = [c_1(\cal{O}(k),h)] \in H^2(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \mathbb{R})$

であって、 $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ の 2次のコホモロジー類を定める。

いっぽう $C^{\infty}$ 実多様体 $M$ の三角形分割の議論から多様体Mの基本類というものが定まった。これは多様体の(実)次元がnのとき、nチェインのホモロジー類で、n次元ホモロジー群に属し、 $[M]$ という記号で表した*1。
$\displaystyle [M] \in H_n(M,\mathbb{Z})$

ここで $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ を実2次元 $C^{\infty}$ 多様体とみると、その基本類
$\displaystyle [\mathbb{P}^1(\mathbb{C})] \in H_2(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \mathbb{Z})$
が定まる。 $[\mathbb{P}^1(\mathbb{C})]$ は 2次ホモロジー類だから、2次のコホモロジー類 $c_1(\cal{O}(k))$ にかませて実数値を得ることができる。その値は $[\mathbb{P}^1(\mathbb{C})]$ に含まれるチェイン上で $c_1(\cal{O}(k))$ を積分することで決まる：

$\displaystyle \langle c_1(\cal{O}(k)), [\mathbb{P}^1(\mathbb{C})]\rangle := \int_{[\mathbb{P}^1(\mathbb{C})]} c_1(\cal{O}(k))$

テキストではこの積分を

$\displaystyle \langle c_1(\cal{O}(k)), [\mathbb{P}^1(\mathbb{C})]\rangle = \int_{U_0} c_1(\cal{O}(k))$

として計算しているが、これは $\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) - U_0$ の測度が0 だからこれでいいのかな？それに従うことにする。
$s = r e^{i\theta}$
と極座標で表すことにすると、
$\displaystyle |s|^2 = r^2$
$\displaystyle ds = d(r e^{i\theta}) = e^{i\theta}dr + ir e^{i\theta} d\theta = e^{i\theta}(dr + ir d\theta)$
$\displaystyle d\bar{s} = d(r e^{-i\theta}) = e^{-i\theta}dr - ir e^{-i\theta} d\theta = e^{-i\theta}(dr - ir d\theta)$
より
$\displaystyle ds \wedge d\bar{s} = -2i r dr \wedge d\theta$
また $U_0$ では $s$ は 0 以外の全複素数をとるから、 $r, \theta$ の積分範囲は
$\displaystyle r \in (0,\infty], \theta \in [0,2\pi)$
となる。

ゆえに

$\displaystyle \begin{eqnarray} \langle c_1(\cal{O}(k)), [\mathbb{P}^1(\mathbb{C})]\rangle &= & \int_{U_0} c_1(\cal{O}(k)) \\ &= & \int_{U_0} \frac{ki}{2\pi} \frac{1}{(1 + |s|^2)^2} ds \wedge d\bar{s} \\ &= & \frac{ki}{2\pi} \int_{U_0} \frac{1}{(1 + r^2)^2} (-2i r) dr \wedge d\theta \\ &= & \frac{k}{2\pi} \int_{r=0}^{\infty} \int_{\theta=0}^{2\pi} \frac{2r}{(1 + r^2)^2} dr \wedge d\theta \\ &= & k \int_{r=0}^{\infty} \frac{2r}{(1 + r^2)^2} dr \\ &= & k \int_{\phi=0}^{\infty} \frac{1}{(1 + \phi)^2} d\phi \\ &= & k [ -(1+\phi)^{-1}]_{0}^{\infty} \\ &= & k \end{eqnarray}$

となり、

$\displaystyle \langle c_1(\cal{O}(k)),[\mathbb{P}^1(\mathbb{C})]\rangle = k$

が成立する。

*1:森田「微分形式の幾何学」p109