部分多様体の幾何学(1)

リーマン多様体からその部分多様体への誘導計量。
$\displaystyle f: M \to N$
を、部分多様体 $M$ のリーマン多様体 $N$ への埋め込みとする。
リーマン多様体 $N$ のリーマン計量を $h$ とするとき、誘導計量と呼ばれる $M$ の計量 $g$ を以下で定義する：

$\displaystyle g(X, Y) := h(f_{*}X, f_{*}Y)$

誘導計量 $g$ を $M$ の第1基本形式ともいう。

例：3次元ユークリッド空間内の曲面M の場合

局所的に M の開集合 U は $\mathbb{R}^2$ の開集合 $D$ と同相。その同相写像を $\vec{p}$ で表す：

$\displaystyle \vec{p}: D \to U \subset M \subset \mathbb{R}^3$

$\mathbb{R}^3$ のリーマン計量を普通のユークリッド計量とすると、これからMへの誘導計量(第1基本形式) g は、上の定義により以下のように計算できる。(D の局所座標として $(u^1,u^2)$ をとる)

$\displaystyle \begin{eqnarray} g_{ij} &= & g$\frac{\partial}{\partial u^i}, \frac{\partial}{\partial u^j}$ \\ &= & $\vec{p}_{*}\(\frac{\partial}{\partial u^i}$, \vec{p}_{*}$\frac{\partial}{\partial u^j}$\) \\ &= & $\vec{p}_{u^i}, \vec{p}_{u^j}$ \\ &= & \vec{p}_{u^i} \cdot \vec{p}_{u^j} \end{eqnarray}$

上の計算途中経過の詳細：
$\displaystyle \begin{eqnarray} \vec{p}_{*}$\frac{\partial}{\partial u^i}$ &=& d \vec{p} $\frac{\partial}{\partial u^i}$ &=& \vec{p}_{k} d u^k $\frac{\partial}{\partial u^i}$ &=& \vec{p}_{u^i} \end{eqnarray}$

したがってMの誘導計量(第1基本形式) は、
$g_{ij} = \vec{p}_{u^i} \cdot \vec{p}_{u^j} du^i \otimes du^j$
という成分で表されるテンソルである。通常
$\begin{eqnarray} \vec{p}_{u^1} \cdot \vec{p}_{u^1} = E \\ \vec{p}_{u^1} \cdot \vec{p}_{u^2} = \vec{p}_{u^2} \cdot \vec{p}_{u^1} = F \\ \vec{p}_{u^2} \cdot \vec{p}_{u^2} = G \end{eqnarray}$
という記号を使い、

$\displaystyle g = E du^1 \otimes du^1 + F (du^1 \otimes du^2 + du^2 \otimes du^1) + G du^2 \otimes du^2$

と表す。