はじめての層係数コホモロジー(2)

下の命題の証明の続き。

複素多様体M上の $C^{\infty}$ 級複素直線束の全体はAbel群をなし、それは群として $H^2(M, \mathbb{Z})$ と同型。

昨日書いたとおり、

整数の定数層 $\mathbb{Z}$
M上の正則関数(の芽)の層 $\cal{O}$
M上の決して0をとらない正則関数(の芽)の層 $\cal{O}^*$

の 3つの層を使う。

まず以下の命題を証明する。

$\displaystyle 0 \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow^{\iota} \cal{O} \longrightarrow^{e} \cal{O}^* \longrightarrow 0$
は、Abel群の層の短完全系列である。

まずはこの列の意味するところを一つずつ確認していく。

層の準同型

上の系列に出てくる
$\displaystyle \mathbb{Z} \longrightarrow^{\iota} \cal{O}$
や
$\displaystyle \cal{O} \longrightarrow^{e} \cal{O}^*$
は2つの層の間の準同型。これの定義を確認する。
そのため、まず定数層 $\mathbb{Z}$ の定義を確認しておく。M を位相空間とみなして、開集合
$\displaystyle U,V,W,\cdots$
をとる。
$\displaystyle U \supset V \supset W,\cdots$
とする。これらに対して
$\displaystyle \mathbb{Z}(U), \mathbb{Z}(V), \mathbb{Z}(W),\cdots$
というAbel群が決まらないといけない。
$\mathbb{Z}(U) = \Gamma(U, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}$ と定義する。すなわち任意の開集合Uに対して整数の加法群 $\mathbb{Z}$ を対応させる。また制限写像 $r_{VU}: \mathbb{Z}(U) \to \mathbb{Z}(V)$ を、
$\displaystyle r_{VU}: \mathbb{Z}(U) = \mathbb{Z} \ni a \mapsto a \in \mathbb{Z} = \mathbb{Z}(V)$
で定義する。このとき $r_{VU} \cdot r_{WV} = r_{WU}$ および $r_{UU} = id|_U$ は明らかなので $\mathbb{Z}$ は前層。層となっていることも明らか。

つぎに $\cal{O}$ は開集合 U に対して U 上の正則関数の芽を対応させるもの。
$\displaystyle \mathbb{Z} \longrightarrow^{\iota} \cal{O}$
は、開集合Uを一つ決めたとき、 $\mathbb{Z}(U)=\mathbb{Z}$ および $\cal{O}(U) = \Gamma(U,\cal{O})$ はともにAbel群とみなせる。一つの整数 $a$ に対して $U$ 上の整数値定数関数 $a: U\ni z \mapsto a \in \mathbb{Z}$ は $U$ 上の正則関数であるから、
$\displaystyle \iota: \mathbb{Z}(U) = \mathbb{Z} \ni a \mapsto $a: U\ni z \mapsto a \in \mathbb{Z}$ \in \cal{O}(U)$
という写像を定義できる。これはAbel群間の写像とみて準同型になっている。
このように一つの開集合 U をあたえると、それに対応して一つの準同型が決まる。U に対応して決まる準同型を $\phi_U$ と書いたとき、
$\phi = \{\phi_U\}$
という準同型写像の族 $\phi$ が決まる。これが制限関数と可換なとき、層の準同型という。