リーマン面間の正則写像で定数写像でないものを考える。に対してであるとき、の局所座標およびの局所座標で、の座標表示が となるものが存在する。(nは正の整数) このようなnは局所座標系の取り方によらず一意に決まる。このnをにおけるの分岐指数という。

§2.2「リーマン面からリーマン面への正則写像の性質」に入る。p31〜33まで終了。以下をやった。 リーマン面からリーマン面への正則写像でも剛性(一致の定理)が成り立つことを確認した。 リーマン面の点のある近傍上の正則関数に対して、その零点の位数は局所…

§2.1「リーマン面の定義と付随するいくつかの概念」読了。 「多様体の基礎」の復習のような感じ。局所座標系の扱い方について概観して復習できたのでよかった。 このテキストではリーマン面の場合は「点Pでの局所座標系」という場合 であると仮定することに…

上の有理型関数はすべて上の有理関数からの延長として一意に得られること、 上の正則な自己同型は 1次分数変換に限ることなどを確認。 p19 に問題1.10として以下がある。 の自己同型写像はすべて の形に書けることを示せ。 ここで は としたとき で与えられ…

2章「リーマン面と正則写像」に入る。 1章でみたリーマン球面の性質が抽象化されてリーマン面が定義される。 リーマン面は1次元の複素多様体であるが、複素多様体という名前は使わずに説明が続く。 テキストでは、リーマン面の定義に、第2可算公理を満たすこ…

§1.6 まで終了。 整域、商体など代数関連になじみがない。 リーマン球面上の有理型関数の全体 は の有理関数全体と一致する。その証明メモ。 を上の有理型関数とすると、有理型関数の定義によって の極全体は内の離散集合。だから、任意の に対しの十分小さ…

§1.6の途中(p11)まで読了。 一変数関数論の復習で、まずは複素平面上の正則関数と有理型関数の性質に関する以下の内容の概要まとめ。 正則関数の定義とべき級数展開 正則関数の剛性(一致の定理) 極、ローラン展開 有理型関数の剛性(ローラン展開の一意性) ち…

§1.6 の問題1.5(p14)まで終了。このテキストはすごく丁寧でわかりやすい。 今度は 上の正則関数と有理型関数について。 上の関数は、上の座標表示と上の座標表示の、 2つの座標表示を持つ。これらは 上の点においては、 を満たす必要がある。 上の関数の零点…

ちょっとメモ。 有理型関数と有理関数は異なる。 有理関数は多項式の分数で表される関数。 有理型関数は真性特異点を持たず、正則でない点においても「たかだか極」であって、その極全体の集合が離散(有限ではなくともよい？*1 )であること。 ところで連続し…

二木「微分幾何講義」を読み進めるにはまだ早いと悟ったので、別の本を読むことにした。半年近く前に少し読みかけた本「代数曲線論」(朝倉)があるのでこれに乗り換える。 第1章はリーマン球面の話。§1.2「の位相」(P6)まで読了。 1次元複素射影空間であるリ…

昨日の記事を読み直してみると、最後の積分のところがかなり怪しそう。 あまり同じところにとどまっていてもつまらないので、そろそろ次に進みたい。 テキストの「2.2.3 正則ベクトル束の標準接続」のまとめ 正則ベクトル束 にはエルミート計量から定まる線…

のエルミート計量 以下で定義される はのエルミート計量となる。上では 上 上がのエルミート計量となることは、変換関数 によって のように変換されるため(より簡単に確かめられる)。 の曲率形式 このエルミート計量 を用いて 1次元複素射影空間 の正則直線…

正則ベクトル束の曲率形式と第1Chern形式についての具体例として、1次元複素射影空間 の超平面 の定める正則直線束 および のエルミート計量を定義し、曲率形式と第1Chern形式の計算を行ってみる。 1次元複素射影空間 1次元複素射影空間 は以下のように定義…

テキスト44ページに復帰。 を正則直線束、 を のエルミート計量とする。 このとき、の開集合上で決して0にならない正則枠 に対して とおくと、正則直線束 のエルミート接続の曲率形式 はと表される。 ここまでが昨年10月までにやった内容。 その続き。 上の …

3日前の続き。 位相空間上の層に対して、を係数とするコホモロジー群 を定義する準備として、の開被覆 に関するコホモロジー群を定義する。に関するコチェイン間に定義される写像 をコバウンダリ作用素という。 は を以下のように写すものとして定義される。…

ようやく長いサブルーチンコールが終わってメインに戻ることができそう。 復習を兼ね、正則ベクトル束のエルミート接続から読み直してみる。

一昨日の続き。 であることの証明は後でフォローすることにして事実として認めてしまうことにする。 すると が成り立つから、複素多様体M上の級複素直線束の全体と が同型であることを示せばよい。 これを確認する。id:kame_math:20061229 で見たように、変…