第2kame日記

正則ベクトル束の曲率形式と第1Chern形式

微分幾何

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$L \rightarrow M$ を正則直線束、 $h$ を $L$ のエルミート計量とする。
このとき、 $M$ の開集合 $U$ 上で決して0にならない正則枠 $s$ に対して
$\displaystyle h_U := h(\bar{s}, s)$
とおくと、正則直線束 $L$ のエルミート接続の曲率形式 $\Theta$ は

$\displaystyle \Theta = - \partial \bar{\partial} log h_U$

と表される。
ここまでが昨年10月までにやった内容。
その続き。

上の $\Theta$ は局所正則枠 $s$ の取り方によらずに決まる。そして

$\displaystyle \frac{i}{2\pi} \Theta$

は実であり、さらに $d\Theta = 0$ が確認できることから、

$\displaystyle \frac{i}{2\pi} \Theta$
は実閉微分 2形式となる。
これを正則直線束 $L \rightarrow M$ のエルミート計量 $h$ に関する第1Chern形式と呼び、

$\displaystyle c_1(L,h)$

という記号で表す。

エルミート計量 $h$ の選び方によらず $c_1(L,h)$ の de Rhamコホモロジー類 $[c_1(L,h)]$ が決まり、これを正則直線束 $L \rightarrow M$ の第1Chern類と呼ぶ。