しばらく前から第5章に入った。

約10日ぶりに再開。§2.11 「の値について」読了。 とは、関数の満たす微分方程式に出てきた係数で、 であった。 つづく。

約一ヶ月ぶりに再開。 読了。 関数、関数、関数は、複素数と周期の関数と見ることもできる。 このときこれらの関数は、周期の による変換で不変であることを確かめた。

しばらくさぼっていたが、とりあえず§3.2終了。 まえがきにこの§は辞書的で読みにくいからさっと流して後で振り返れ、とありがたいお言葉があったのでそれに従うことにした。 環の加群 加群の直和 部分加群 自由加群 Hom 中山の補題 完全列 テンソル積 につ…

§3.2「加群」に入る。 環Aの作用をもつAbel群を A加群という。

§2.9読了。位数rの任意の楕円関数は、関数を用いて以下のように表示できる。ただしをの極、をの零点とする。

よりであり、両辺のlogをとると、これをuで微分して、よりを得る。これはWeierstrassのζ関数を、整関数の商として表示できたことに意義がある。 さらに であったので、を得る。これにもWeierstrassの関数を、整関数の商として表示できたことに意義があるよう…

この後、のベキ級数展開が以下の形になることが求められる：はの有理数係数の多項式として表される。 たとえば、 §2.8 の最後は、関数の擬周期性について。関数の擬周期性を基に、以下が示されて§2.8 が読了となった。この式が次の§で重要な働きをするらしい…

無限乗積の収束の知識が必要になった。これについて過去学んだことが一度もなかったので、関数論のテキストでWeierstrassの因数分解定理なるものなどのお勉強を一週間ほどしていた。 その結果、で定義されるは整関数となることがようやくわかった(右辺に現れ…

§2.8「Weierstrassの関数」に入る。を満たす整関数(全体で正則な関数)として、Weierstrassの関数が導入される。

ヒルベルトの基底定理 テキストの証明法のギャップが埋まらず、仕方なく図書館で見つけた「代数学」（松村英之、朝倉書店）の証明を追う。証明のフォローは完了。たぶん本質的には同じ証明法だと思う。 根基(radigal)の定義 可換環AのJacobson根基、ベキ零根…

§3.1の最後は局所環。その定義は、 極大イデアルを唯一つ持つ環を、局所環(local ring)という。 これだけだと意味がさっぱりわからないが、リーマン面の方でおなじみだったものを抽象化したものだということがわかる例がある。 それはリーマン面上の点におけ…

ネーター環の多項式環はネーター環である。 証明に超えられないギャップがあり悩む。土日にゆっくり考えてみよう。

§3.1「ネーター環とアルティン環」に入る。 まずは、ネーター環とアルティン環の定義の理解から。

を周期とする楕円関数全体の集合をと書き、楕円関数体という。は複素トーラス上の有理関数全体のなす体である。定理2.10 で以下が証明される： を周期とする任意の楕円関数は、の有理式が存在して、 と書ける。 これから 関数に関しては、微分方程式 が成立…

§2.6「Weierstrassの関数」 Weierstrassの関数は と定義され、 を満たしていた。 この関数の擬周期性 が示された。さらに周期平行四辺形の周上でを一周積分することにより、Legendreの関係式 が示された。以上で§2.6読了。 §2.7「関数による楕円関数の表示」…

2章を飛ばして3章「可換環論入門」を先にやることに決めた。

§2.5「楕円関数体と関数」に入る。 を周期とする任意の楕円関数は、 の有理式で書けることを示すのが、最初の目標。

40日かかってしまった。 続いて第2章「体のガロワ理論」 第3章「可換環論入門」のどちらに進むべきか思案中。

節末に演習問題が6題。 3日かけて4問できた。わかってみればつまらないところで引っ掛かり、時間を浪費した。あとオイラー数に関する2問が残っている。これが終われば第1章「環」が読了の予定。

一般化された中国剰余定理の証明に使う事実のメモ。 が環のイデアル、が素イデアルのとき、 環のイデアル に対し、を含む極大イデアルは必ず存在する。 が環のイデアルで、を共に含む極大イデアルが存在しないとする。 このとき、 である。

§1.5「中国剰余定理」に入る。 環の直積、ベキ等元について学んだ後、一般化された中国剰余定理 (ただしI,Jは環Aのイデアルで) の証明まで進む。

§2.3楕円積分と関数 読了。微分の正則性の証明の計算がやや面倒だった。 代数曲線を各局所座標で表した方程式の、両辺の外微分を取って計算するのが、全域で微分が正則であることを証明するためのコツのようである。 §2.4 関数の加法公式 続けて§2.4「関数の…

§1.4「素イデアル、極大イデアル、既約性の判定」読了。第1章は§1.5「中国剰余定理」を残すのみとなった。

§2.3「楕円積分と関数」に入る。 この節の目的は、楕円関数の一例としてのWeierstrassの関数が、楕円積分 の逆関数となっていることを示すこと。

§1.4の前半、素イデアルと極大イデアルが終わった。 この節の後半はなぜか多項式の既約性の判定法。 なぜ同じセクションにあるのだろう。ともかく§1.4 は、演習問題を残すのみとなった。 このテキストの演習問題は素直なものが多いと感じる。

§1.4に入る。 素イデアルと極大イデアルの定義を知り、それらの例と簡単な性質をいくつか学んだ。 が環のイデアルのとき、 が素イデアル が整域。 が極大イデアル が体。 空間上の適当な実関数の環に対し、ある点上で0をとるの元である関数全体は極大イデア…

§2.2「複素トーラスと3次曲線」読了。複素トーラス と (内の非特異3次曲線)が、複素多様体として同型であることの証明まで完了。 だんだん証明なしで自由に利用する事実が増えつつある。 たとえば リーマン面間の定数でない正則写像は開写像 が「よく知られ…

§2.2「複素トーラスと3次曲線」に入る。 この節の目標は、複素トーラス と複素射影空間内のある非特異3次曲線が、複素多様体として同型であることを示すことにあると思われる。 あいかわらず論理展開と式変形は超丁寧。局所座標を使っての具体的な計算も、は…

§2.1「Weierstrassの関数」読了。 "関数" と書いて "ペー関数"と読む。 を で生成されるの格子としたとき、関数は次のように定義される。右辺の級数は収束し 2重周期性を持つ。 関数は位数2の楕円関数となる。 は位数3の楕円関数で、3位の極 0 と、1位の零点…