正則ベクトル束の標準接続(4)

微分幾何

なかなか接続の話に届かない。今しばらく準備がつづく。

複素ベクトル束のエルミート計量

複素ベクトル束 \pi: E \to M に対し、h が E のエルミート計量であるとは、M の各点 p において
\displaystyle h: \bar{E_p} \times E_p \to \mathbb{C}
が正値エルミート形式であることをいう。


M の点 p を固定する。 E_p の局所枠 e_1, \cdots, e_r をとる。
このとき
\displaystyle h_{\bar{i} j} := h(\bar{e_i}, e_j)
は正値エルミート行列(すなわち {}^{t}\bar{h} = h で h の固有値はすべて正)。

indexの方にバーがつくのは何だか奇妙だが、添字を使ったテンソル計算をするのには、この方が便利らしい。

局所枠の変換に伴うエルミート計量の行列表示の変換規則

複素ベクトル束 \pi: E \to M に対し、 U_{\lambda} 上の局所枠 e_{\lambda} から U_{\mu} 上の局所枠 e_{\mu} への変換行列を f_{\lambda \mu} とする：
\displaystyle e_{\mu j} = e_{\lambda i} f_{\lambda \mu}^{i}_{j}
このとき e_{\lambda} に関するエルミート計量の行列表示 h_{\lambda} と e_{\mu} に関するエルミート計量の行列表示 h_{\mu} の関係は以下の通り：

\displaystyle h_{\mu} = {}^{t}\bar{f_{\lambda \mu}} h_{\lambda} f_{\lambda \mu}

なぜならば：
\displaystyle \begin{eqnarray} h_{\mu}_{\bar{i} j} &= &h_{\mu}\(\bar{e_{\mu i}}, e_{\mu j}\) \\ &= &h_{\mu}\(\bar{e_{\lambda k} f_{\lambda \mu}^{k}_{i}}, e_{\lambda l} f_{\lambda \mu}^{l}_{j} \) \\ &= &f_{\lambda \mu}^{k}_{i} h_{\mu}\(\bar{e_{\lambda k}}, e_{\lambda l}\) f_{\lambda \mu}^{l}_{j} \\ &= &f_{\lambda \mu}^{k}_{i} h_{\lambda}\(\bar{e_{\lambda k}}, e_{\lambda l}\) f_{\lambda \mu}^{l}_{j} \\ &= &{}^{t}f_{\lambda \mu}^{i}_{k} h_{\lambda}_{\bar{k} l} f_{\lambda \mu}^{l}_{j} \\ &= &{}^{t}\bar{f_{\lambda \mu}^{\bar{i}}_{\bar{k}}} h_{\lambda}_{\bar{k} l} f_{\lambda \mu}^{l}_{j} \\ &= &\({}^{t}\bar{f_{\lambda \mu}} h_{\lambda} f_{\lambda \mu}\)^{\bar{i}}_{j} \end{eqnarray}