ベクトル束Eの線形接続を利用して、E 上の切断 s と M 上の接ベクトル場 X に対し、s の X による共変微分 が次のように定義される： この記号のことをとの縮約と呼ぶらしい。は Eに値を取る1次微分形式、すなわち接ベクトルを引数として E に値を取る関数だ…

具体的なベクトル束の線形接続の例。まず 1番簡単な例として、ランク1の自明なベクトル束の場合。自明なベクトル束とは、 のように、底空間 M と の直積で表されるようなベクトル束で、r を そのランクという。だから、ランク1の自明なベクトル束とは、 のよ…

第2章に入る。 接続とは、 内の 2次元曲面における共変微分を、一般化、抽象化したもののようだ。 2次元曲面上の接ベクトル場 X の共変微分は、微分 dX を接平面の方向の成分と法ベクトル方向に分解したときの 接成分であった。 一般の多様体においては「法…

第1章が出強かった。 ファイバー束、ベクトル束の定義を初めて知った。 多様体の全要素pの接空間をあわせたようなものよう。 「局所自明性」とはなんなのか、しばしなやんだ。１章最後は「複素多様体」。これははげしく六つかし。

本日より、二木昭人「微分幾何講義」(サイエンス社)を読み始める。 まず第1章 1.1 は線形代数に関するまとめ。以下メモ。 6ページ。 を n次元実ベクトル空間、 を V の双対空間とする。 このとき、 から への同型を以下で定義してやればよい： 続いてHodge s…

小林「曲線と曲面の微分幾何」第3章§6 p117 の の計算の途中に出て来る式(6.9)の式変形がよくわからなかったのでメモ。 まず式(6.9)をそのまま書くと、 1行目の等式が成り立つこと：に埋め込まれた2次元曲面の各点で定義されている接ベクトル場 の、曲面上の…

曲面の構造方程式、共変微分、測地線、測地的曲率、法曲率まで完。