特異チェインの境界作用素

$C^\infty$ 多様体Xの特異k単体 $\sigma: \Delta^k \to X$ に対する境界作用素を定義してチェイン複体を作りたい。
Xの特異kチェイン全体の集合を $S_k(X)$ と表すとき、
$\displaystyle \partial: S_k(X) \to S_{k-1}(X)$
を以下で定義する。まず特異k単体 $\sigma: \Delta^k \to X$ に対して、
$\displaystyle \partial \sigma:= \sum_{i=0}^{k} (-1)^{i} \sigma \cdot \varepsilon_i$
と定義するそうだ。
ただし、 $\varepsilon_i: \Delta^{k-1} \to \Delta^{k}$ は以下のように定義される。

$\displaystyle \begin{eqnarray}\varepsilon_0(x_1,x_2\cdots,x_{k-1}) &= &(1-\sum_{i=1}^{k-1}, x1,\cdots,x_{k-1}) \\ \varepsilon_1(x_1,x_2\cdots,x_{k-1}) &= &(0, x1,x_2\cdots,x_{k-1}) \\ \varepsilon_2(x_1,x_2,\cdots,x_{k-1}) &= &(x1,0,x_2,\cdots,x_{k-1})\\ \vdots \end{eqnarray}$

これが意味がよくわかりにくいのだが、k=2の場合を具体的に調べてみると、特異2単体 $\sigma$ は $\mathbb{R}^2$ の中に置かれた、 $E_0=(0,0), E_1=(1,0), E_2=(0,1)$ を頂点とする三角形である。上の定義による $\varepsilon_i (i=0,1,2)$ は、

$\displaystyle \varepsilon_0(x_1) = (1-x_1,x_1)$
$\displaystyle \varepsilon_1(x_1) = (0,x_1)$
$\displaystyle \varepsilon_2(x_1) = (x_1,0)$

となる。右辺を見れば、これらはそれぞれ三角形 $E_{0}E_{1}E_{2}$ の辺 $E_{1}E_{2}$ , $E_{0}E_{2}$ , $E_{0}E_{1}$ となっていることがわかる。したがって、
$\displaystyle \sigma \cdot \varepsilon_0, \sigma \cdot \varepsilon_1, \sigma \cdot \varepsilon_2$
は、それぞれ標準2単体 $\Delta^2$ (三角形)上のXへの写像 $\sigma$ を、三角形の「境界」である辺上に制限したものとなる。±の符号はうまいこと決めてやったものが上の特異k単体 $\sigma: \Delta^k \to X$ に対する境界作用素
$\displaystyle \partial \sigma:= \sum_{i=0}^{k} (-1)^{i} \sigma \cdot \varepsilon_i$
の定義であると納得できる。