正則ベクトル束の標準接続(3)

微分幾何

やっと正則直線束の定義が理解できたので次に進む。

正則直線束の例(複素射影空間の超平面束)

p40「例2.2.17」について。
1次元複素射影空間
\displaystyle \mathbb{P}^{1}\(\mathbb{C}\) = \{\(z^{0}:z^{1}\) \| \(z^{0},z^{1}\) \neq \(0,0\) \}
の余次元1の複素部分多様体
\displaystyle H = \{\(0:z^{1}\) \in \mathbb{P}^{1}\(\mathbb{C}\) \| z^{1} \neq 0\}
によって先日のやり方で定まる正則直線束 L_H を \mathbb{P}^{1}\(\mathbb{C}\)の超平面束という。

\displaystyle \mathcal{O}(k) := L_H \otimes \cdots \otimes L_H

と定義する。ただし右辺は L_Hの k 個のテンソル積。これは H + \cdots + H = kH の直線束となっている。


この 1次元の場合、H は \(0:1\) の一点からなる。
\mathbb{P}^{1}\(\mathbb{C}\) の開被覆として U_0, U_1 を次のようにとれる。

\displaystyle U_0 := \{ \(z^{0}:z^{1}\) \in \mathbb{P}^{1}\(\mathbb{C}\) \| z^{0} \neq 0\}
\displaystyle U_1 := \{ \(z^{0}:z^{1}\) \in \mathbb{P}^{1}\(\mathbb{C}\) \| z^{1} \neq 0\}

U_0 においては z^{0} \neq 0 であることから \(z^{0}:z^{1}\) = \(1: z^{1}/z^{0}\) と書ける。 s = z^{1}/z^{0} とすれば s \in \mathbb{C}^1 であり s は U_0 の局所座標となる。
同様に U_1 において t = z^{0}/z^{1} として、t を U_1 の局所座標として取れる。

さて、 H の定める直線束 L_H は次のようになる。まず U_0 \cap H = \phi なので U_0上の 0 にならない関数として f_0 = 1 を取る。また U_1 \cap H = Hなので、 U_1上では正則関数 f_1 = t が取れる。すると f_0, f_1 を用いて、 U_0 \cap U_1 上で正則な関数
\displaystyle f_{01} = \frac{f_0}{f_1} = \frac{1}{t}
\displaystyle f_{10} = \frac{f_1}{f_0} = t
が取れる。この f_{01}, f_{10} が L_H の変換関数系となっている。