レビ・チビタ接続 - 第2kame日記

続いて 2.2.1「リーマン多様体」(p29〜35)に入る。
まずはリーマン計量、リーマン多様体の定義とその上の線形接続の一意存在について。

リーマン多様体

リーマン計量 g を持つ多様体 M をリーマン多様体という。
g は M上の 2次対称テンソルで、∀p ∈ M において、 $g_p$ が正定値の 2次形式であるようなもの。
以下、 $M$ の局所座標 $x^i$ を使って、
$\displaystyle g = g_{ij} dx^i \otimes dx^j$
と表す。行列 $g_{ij}$ は正値対称行列となっている。

レビチビタ接続

リーマン多様体 $(M,g)$ の接ベクトル束 $TM$ には、以下を満たす線形接続 $\nabla$ が一意的に存在。
この $\nabla$ をレビチビタ接続という。

(1) $\forall X,Y \in \mathcal{X}(M)$ に対し、
$\displaystyle \nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]$

(2) $\forall X,Y,Z \in \mathcal{X}(M)$ に対し、
$\displaystyle X g(Y,Z) = g(\nabla_X Y, Z) + g(Y, \nabla_Z Y)$

存在と一意性の証明は面倒だが単純な計算の繰り返しで可能。