松本「多様体の基礎」。つづいて§14「1の分割」に入る。 「1の分割」という名前はいろいろな分野で昔から見た記憶があるが、はたしてこれが何者なのか。

ということで azuu_ks さんご指摘の通り、微分可能関数でないとだめなので、指数関数を利用して具体的に関数を構築した上で、埋め込み定理を証明しなければならない。 m次元級コンパクト多様体の任意の元p は、M がコンパクトゆえに M の有限部分被覆 のどれ…

§13に入った。前半は位相空間論の基本的な定理のおさらい。 その後「埋め込み定理」の証明に使う関数についての命題が続く。 なんかこの関数は Urysohnの補題に出てくる連続関数と雰囲気が似ている。Urysohnの補題は正規空間について成立する。 埋め込み定理…

いろいろな具体例が出てくる演習問題をやっているがなかなか難しい。 A は B の 部分多様体となっていることを示せ。 というタイプの問題。 とくに A や B が の部分集合の場合、元々に入っている自然な座標にまどわされ混乱してしまう。 たくさん演習やって…

ようやく§12「はめ込みと埋め込み」の最後まで来た。 演習問題も少しずつ難しくなってくる。 とはいえ、定義と過去になった定理を読み直しながらやれば何とかできるのだが、どうも新しい概念や定理が成り立つ条件が記憶しにくい。慣れればピンと来るようにな…

の場合のはめ込みの例が多数テキストに出ており、なんとなくはめ込みが何を意味しているのかわかるようになった。 この場合が1:1 であるということは、2次元平面上にグラフとしてfを書くと、とんがっているところがない、すなわちどこでも微分可能ということ…

∃x ∈ R があってなんたら という表現をみたが、なんか気持ち悪い。 馬から落ちて落馬したみたいだ。

松本「多様体の基礎」第４章「はめ込みと埋め込み」に入る。 まず「はめ込み」。なんだろこれは。 「はめ込み」とは多様体間の写像に対する言葉である。 M, N がそれぞれ 級多様体のとき、 がはめ込みであるとは、 M の任意の点 p において、 が 1:1 の線型…

連続性を確認せずに極限とっちゃだめ！

今までみてきたは実射影空間と呼ばれている。 R を C に置き換えたものを複素射影空間といい、 という記号で表す。 同次座標の表し方、位相の入れ方、座標近傍系の定義などはすべて形式的には と同じように行う。 そうすると と を同一視することにより、 は…

松本「多様体の基礎」第３章に戻る。 に以下で同値関係を定義する。 このとき射影空間 を と定義することもできる。（こちらの定義の方が普通だそうである） を の点と考えたものを という記号で表す。前にもどこかでこのような記号を見たことがあるが、これ…

ベクトル場 ちょっと先走り、ちらっと「多様体の基礎」(松本)の第5章をつまみ食いしてみる。 証明をはしょり、結果だけ直感的にイメージしながらざっと読んでみた。 以下メモ。 を可微分多様体、 を のにおける接空間としたとき、対応 を M 上のベクトル場と…

の座標近傍系がどんなものなのか、今ひとつピンとこない。 m=1 の場合を具体的に調べてみよう。 の開集合 を以下で定義する。 はそれぞれ の直線の補集合。 の直線は閉であるから、 はそれぞれ開集合となる。 の点に、その点と原点を結ぶ直線を対応させる写…

原点にいる人が水平線より上を見ると、の元は1点に見える。 原点を中心とする球は、原点を通る直線と2点で交わるので、球の上半分はその直線と1点で交わり、 と1:1 に対応する。この上半球面上に射影したように見えるので射影空間という名前がついているのだ…