§19に入る。1次微分形式の復習をしながらk次微分形式のお勉強。 1次微分形式は 上の1次形式であったが、k次微分形式は単純に上のk次線型形式であるわけではないらしい。多様体Mの各元pにM上のk次線型形式を対応させる対応を k次共変テンソル場と呼ぶそうだ。…

§18 読了。 新しい概念がたくさん出てきて慣れるのに時間がかかった。

松本「多様体の基礎」第6章 §18 1次微分形式に入る。級多様体 M の点 p における接空間 の双対空間を という記号で表して、これを M の p における余接ベクトル空間という。 M の各元 p に の元 を対応させる写像 を M 上の 1次微分形式というそうだ。最初に…

§17の補足として Lie微分というものが載っている。 X を多様体 M 上のベクトル場とする。M 上の関数 f の Xに関するLie微分とは、f を X に付随する 1パラメータ変換群 が作る曲線に沿って f を t で微分したもの。と書く。実は である。M 上のベクトル場Y …

少し間があいてしまったが、§17のつづき。 p251から「応用」として、次の定理17.8 が掲げられている。 M: m次元級多様体 : 級固有写像 とする。固有写像とは、コンパクト集合の逆像がコンパクトであるような写像のことだそうだ。 f が臨界点を持たなければ、…

松本「多様体の基礎」§17「積分曲線」の読書メモ。以降 M を m次元級多様体、X を M の 級ベクトル場とする。 M の 級ベクトル場全体を と表す。 について が成立するとき、 が X の積分曲線であるという。 c, X の局所座標表示を, ()とすると、関数 は微分…

常微分方程式の解の存在と一意性について勉強する必要あり。

点 における任意の接ベクトルの、の基底に関する成分がであったとする。に対して、 であったから、ベクトル空間の内積を使って、 と表せる。 は f の p方向の方向微分であった。そこで、が一定であるような集合の上では は 0 になる。このとき、 と は直交す…

誤解していた箇所をいくつか訂正(2/4)。 に対しの元を対応させる写像がのベクトル場。 の元は、 を用いて と表せる。 を上の級関数とすると、 により、以下のようなのベクトル場が定義できる。 を X で写したものは、 となる。 このベクトル場をの勾配といい…

2つの多様体間の微分同相写像とその微分、ベクトル場、M上の関数の空間などがごっちゃになり混乱中。整理してみよう。M,N を級多様体、 を級微分同相写像とする。 M に関係して 接空間 級ベクトル場 M上の級関数の空間 が出てくる。これらの間にいろいろな関…