リーマン多様体からその部分多様体への誘導計量。 を、部分多様体のリーマン多様体への埋め込みとする。 リーマン多様体のリーマン計量をとするとき、誘導計量と呼ばれるの計量を以下で定義する： 誘導計量をの第1基本形式ともいう。 例：3次元ユークリッド…

いつも使っているパソコンからアップができなくなってしまった。クリストッフェルの記号 第1構造方程式 曲率テンソル リッチテンソル スカラー曲率などに関する内容を読んでいろいろ計算したりしてこの1〜2週間を過ごした。リッチテンソルがリーマン計量の実…

続いて 2.2.1「リーマン多様体」(p29〜35)に入る。 まずはリーマン計量、リーマン多様体の定義とその上の線形接続の一意存在について。 リーマン多様体 リーマン計量 g を持つ多様体 M をリーマン多様体という。 g は M上の 2次対称テンソルで、∀p ∈ M にお…

曲率形式について成立する命題(昨日のやつ) の X, Y のところに を代入する。M は 級 と仮定しているので、2階微分の順序は交換可能なので であるから、よって、曲率形式とは 方向と 方向の共変微分の可換の度合を計るものと解釈できる。 共変外微分 接続(共…

接続の曲率形式に関し、 ∵ であることと、 と に対して、 を利用すると、

p28の命題2.1.13。この理解(解読)に約1週間もかかってしまった。 命題2.1.13は以下のとおり： の接続形式を とする。 ゲージ群の元 に対し、の接続形式は、以下で与えられる： 記号の意味がはっきり書かれていないところが誤解する原因のようだ。 とは何ぞや…

双対ベクトル束の場合 をベクトル束、を上の線型接続とする。このとき のファイバーをその双対空間でおきかえたものをと書いて、の双対という。 をベースに上の接続 を定義したい。 双対空間の話なので、元の空間の元を介在させないとうまく表せないので、 …

局所枠の変換(つづき) 局所枠が、 と変換されるとき、接続形式 は へ以下のように変換される： 証明は、まず の両辺を共変微分する。左辺： 右辺： の係数を比較すればOK。 曲率形式 下のように天下りに曲率形式というものが、行列に値を持つ2次微分形式とし…

局所枠 一般のベクトル束 の線形接続について考える。 を M の開被覆で、各上局所自明化、すなわち の同型が与えられているとする。 このとき、の自然な基底 をとることにより、 の切断 が定義できる：これを 上の局所枠といい、各点 において、局所枠はファ…

次に必ずしも自明でない一般のベクトル束 の線形接続について考える。 内の滑らかな曲面 上の正規直交標構 をとったとき、以下の式が成立した。ここでは各点の接平面上に取り、はそれらに直交する単位法ベクトルである。(小林昭七「曲線と曲面の微分幾何」参…