1次元複素射影空間の超平面束の曲率形式と第1Chern形式

正則ベクトル束の曲率形式と第1Chern形式についての具体例として、1次元複素射影空間 $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})$ の超平面 $H = \{(0:1)\}$ の定める正則直線束 $L_H$ および $\cal{O}(k) = L_{H}^{\otimes^{k}} = L_{kH}$ のエルミート計量を定義し、曲率形式と第1Chern形式の計算を行ってみる。

1次元複素射影空間 $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})$

1次元複素射影空間 $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})$ は以下のように定義される。

$\displaystyle \mathbb{P}^{1}(\mathbb{C}) := \{(z^0:z^1) | (z^0,z^1) \neq (0,0) \} = (\mathbb{C}^2 - \{o\})/\mathbb{C}^{\times}$

両方が同時に0でない2つの複素数の比に相当する集合であり、 $\mathbb{C}^2$ 上で原点を通る直線として表すこともできる。

下で定義される $U_0, U_1$ は $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})$ の開被覆となる。

$\displaystyle U_0 := \{(z^0:z^1) \in \mathbb{P}^{1}(\mathbb{C}) | z^0 \neq 0 \}$
$\displaystyle U_1 := \{(z^0:z^1) \in \mathbb{P}^{1}(\mathbb{C}) | z^1 \neq 0 \}$

$U_0$ は $\mathbb{C}^2$ 上原点を通る直線全体から " $z^1$ 軸" を除いたもの、
$U_1$ は $\mathbb{C}^2$ 上原点を通る直線全体から " $z^0$ 軸" を除いたもの、
ということになる。

$\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})$ の超平面束

$\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})$ の非特異因子(余次元1の部分多様体) $H$ を

$\displaystyle H:= \{(0:z^1) \in \mathbb{P}^{1}(\mathbb{C}) | z^1 \neq 0\}$

で定義すると任意の0でない複素数 z について $(0:1) \sim (0:z)$ だから

$\displaystyle H = \{(0:1)\}$ となる。これは " $z^1$ 軸" に相当することになる。

この 1次元複素射影空間 $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})$ の非特異因子 $H = \{(0:1)\}$ の定める正則直線束を
$\displaystyle L_H$
と表し、超平面束と呼ぶ。

$\displaystyle \mathbb{P}^{1}(\mathbb{C}) = U_0 \cup U_1$
となる。 $U_0$ 上で $s = z^1/z^0$ 、 $U_1$ 上で $t = z^0/z^1$ 局所座標を取る。

$\displaystyle H \cap U_0 = \emptyset$
となることから、 $U_0$ 上では $f_0 = 1$ とする。
また $U_1$ の元は $(z^0:z^1) = (z^0/z^1 : 1) = (t:1)$ と座標表示されるが、このとき $H$ すなわち $z^1$ 軸に沿っては $t = 0$ となる。そこで $f_1 = t$ とすれば、
$\displaystyle H \cap U_1 = \{p \in U_1| f_1(p) (= t) = 0\}$
と表すことができる。
そこでこの $f_0, f_1$ を使って

$\displaystyle f_{01} = \frac{f_0}{f_1} = \frac{1}{t} = s$
$\displaystyle f_{10} = \frac{f_1}{f_0} = t$

とすると、関数系 $\{f_{01}, f_{10}\}$ は $U_0 \cap U_1$ 上正則で至るところ 0 とならず、正則直線束を定める。 $\{f_{01}, f_{10}\}$ に対応する正則直線束を $L_H$ と表すわけだ。

$L_H$ のk個のテンソル積を
$\displaystyle \cal{O}(k) = L_{H} \otimes \cdots \cdots L_{H} = L_{H}^{\otimes^{k}} = L_{kH}$
という記号で表す。
このとき $\cal{O}(k) = L_{kH}$ の変換関数は $\{(f_{ij})^{k}\}$ となる。