はじめての層係数コホモロジー(3)

昨日の続きで、

複素多様体M上の $C^{\infty}$ 級複素直線束の全体はAbel群をなし、それは群として $H^2(M, \mathbb{Z})$ と同型。

上の命題の証明が目標。

整数の定数層 $\mathbb{Z}$
M上の正則関数(の芽)の層 $\cal{O}$
M上の決して0をとらない正則関数(の芽)の層 $\cal{O}^*$

の 3つの層を使って、

$\displaystyle H^2(M, \mathbb{Z}) \simeq H^1(M, \cal{O}^*)$

を示すのが第一段階。これが示せれば複素直線束全体と $H^1(M, \cal{O}^*)$ が同型であることを示せばよく、これは比較的簡単に示すことができる。そこで上を示すために、まず以下の命題を証明しようとしているところ。

$\displaystyle 0 \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow^{\iota} \cal{O} \longrightarrow^{e} \cal{O}^* \longrightarrow 0$
は、Abel群の層の短完全系列である。

昨日に続き、
$\displaystyle \cal{O} \longrightarrow^{e} \cal{O}^*$
の部分を見ていく。
写像 $e$ は次のように定義される。すなわち $M$ の一点 $p$ の近傍 $U$ において、その座標を $z$ で表したとき、

$\displaystyle \cal{O}_p \ni (f:z \mapsto f(z)) \longrightarrow^{e} e(f(z)) = exp(2\pi i f(z)) \in \cal{O}^*_p$

と定義するそうだ。M は必ずしも1次元でなくてもよいようだが、、2次元以上の場合、多変数複素関数の指数関数はどのように定義されるのだろう？とりあえず1次元の場合で考えておこう。

ところで、 $\cal{O}_p$ と書いたが、これは点 $p \in M$ における層 $\cal{O}$ の茎(stalk)と呼ばれているもの。 $p$ のある開近傍 $W$ が存在し、 $s|_W = t|_W$ となれば $s \sim t$ (同値)とみなし、
$\displaystyle \cal{O}_p := \bigcup_{U\in \cal{U}_p} \cal{O}(U) / \sim$
で定義される( $\cal{U}_p$ は点pの開近傍族)。 $\cal{O}_p$ の元は点pの近傍における正則関数の芽と呼ばれる。

さて、
$\displaystyle \mathbb{Z} \longrightarrow^{\iota} \cal{O}$
が単射であることは明らか。

$\displaystyle \cal{O} \longrightarrow^{e} \cal{O}^*$
が全射であることは、点pの十分小さな近傍において 0を取らない正則関数は一価な対数関数の分枝を持ち、これが e により自分自身に写されることからわかる。
あとは
$\displaystyle Im(\iota) = Ker(e)$
であるが、これは

$exp(2\pi i f(z)) = 1 \Leftrightarrow f(z) \in \mathbb{Z}$

よりわかる*1。したがって、

$\displaystyle 0 \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow^{\iota} \cal{O} \longrightarrow^{e} \cal{O}^* \longrightarrow 0$

がAbel群の層の短完全系列であることが証明できた。

トポロジーのときと同じように、上の短完全系列からコホモロジー群の長完全系列が成り立つ。

$\displaystyle \begin{eqnarray} &0 &\to H^0(M,\mathbb{Z}) \to H^0(M, \cal{O}) \to H^0(M, \cal{O}^*) \\ && \to H^1(M,\mathbb{Z}) \to H^1(M, \cal{O}) \to H^1(M, \cal{O}^*) \\ && \to H^2(M,\mathbb{Z}) \to H^2(M, \cal{O}) \to H^2(M, \cal{O}^*) \\ &&\to \cdots \end{eqnarray}$

よって、もし
$\displaystyle H^1(M, \cal{O}) = H^2(M, \cal{O}) = 0$
であれば、
$\displaystyle 0 \to H^1(M, \cal{O}^*) \to H^2(M,\mathbb{Z}) \to 0$
が完全系列となり、
$\displaystyle H^2(M, \mathbb{Z}) \simeq H^1(M, \cal{O}^*)$
が成り立つ。

つづく

*1: $\cal{O}^*$ は乗法群であることに注意