de Rhamの定理(3) - 第2kame日記

$C^{\infty}$ 多様体 $M$ の任意の(可縮な)開被覆
$\displaystyle \cal{U} = \{U_{\alpha}; \alpha \in A\}$
が与えられたとする。
この被覆から作られる k単体 $(\alpha_0,\cdots,\alpha_k)$ に $U_{\alpha_0}\cap\cdots\cap U_{\alpha_k}$ 上の微分 $l$ 形式を対応させる写像
$\displaystyle \omega : (\alpha_0,\cdots,\alpha_k) \mapsto \omega(\alpha_0,\cdots,\alpha_k) \in A^{l}(U_{\alpha_0}\cap \cdots \cap U_{\alpha_k})$
で、 $\alpha_0,\cdots,\alpha_k$ の並べ換えに関して交代的に符号が変わるものの全体を
$\displaystyle A^{k,l}(\cal{U})$
と書く(k cochain)。これに対して2つの作用素 $\delta : A^{k,l}(\cal{U}) \to A^{k+1,l}(\cal{U}), d : A^{k,l}(\cal{U}) \to A^{k,l+1}(\cal{U})$ を下で定義することにより、 $A^{k,l}(\cal{U})$ らの 2重複体ができる。

$\omega \in A^{k,l}(\cal{U})$ に対し、
$\displaystyle \delta \omega : (\alpha_0,\cdots,\alpha_{k+1}) \mapsto \sum_{i=0}^{k+1} (-1)^i \omega(\alpha_0,\cdots,\hat{\alpha_{i}},\cdots,\alpha_{k+1})$
$\displaystyle d \omega : (\alpha_0,\cdots,\alpha_k) \mapsto d$ \omega(\alpha_0,\cdots,\alpha_{k}) $$

これが、 $\delta \circ \delta = 0, d \circ d = 0$ を満たし、 $\delta$ と $d$ は可換となる。さらに、次の完全系列が成り立つ。
(これを示すのに $\cal{U}$ に従属する1の分割の存在/ポアンカレの補題が必要。)

$\displaystyle 0 \to A^{l}(M) \to^{r} A^{0,l}(\cal{U}) \to^{\delta} \cdots \to^{\delta} A^{k,l}(\cal{U}) \to^{\delta} \cdots$
$\displaystyle 0 \to C^{k}(\cal{U}) \to^{i} A^{k,0}(\cal{U}) \to^{d} \cdots \to^{d} A^{k,l}(\cal{U}) \to^{d} \cdots$

これを用いて 2重複体の可換図式の追跡を行うと、de Rhamコホモロジー群と Cechコホモロジー群が同型であることが証明できる。
(別にCechコホモロジー群と特異コホモロジー群が同型であることも証明できて、de Rhamの定理の証明が完了する。)