リーマン球面の位相

二木「微分幾何講義」を読み進めるにはまだ早いと悟ったので、別の本を読むことにした。半年近く前に少し読みかけた本「代数曲線論」(朝倉)があるのでこれに乗り換える。

第1章はリーマン球面 $\mathbb{P}^1$ の話。§1.2「 $\mathbb{P}^1$ の位相」(P6)まで読了。
1次元複素射影空間であるリーマン球面 $\mathbb{P}^1$ の定義と、その位相の定義。
以下を証明。位相空間論の初歩の演習問題レベル。

射影 $\displaystyle \pi: \mathbb{C}^2-\{(0,0)\} \ni (a_0,a_1) \mapsto [a_0,a_1] \in \mathbb{P}^1$ は開写像
$\mathbb{P}^1$ は第2可算。
$\mathbb{P}^1$ は連結。
$\mathbb{P}^1$ はコンパクト。
$\mathbb{P}^1$ はハウスドルフ。

証明で使ったよく使う位相空間の性質をメモ。

横田一郎「群と位相」(裳華房)が辞書として結構便利であることを発見した。