1章読了 - 第2kame日記

$\mathbb{P}^1$ 上の有理型関数はすべて $\mathbb{C}_z$ 上の有理関数からの延長として一意に得られること、 $\mathbb{P}^1$ 上の正則な自己同型は 1次分数変換に限ることなどを確認。

p19 に問題1.10として以下がある。

$\mathbb{P}^1$ の自己同型写像はすべて $p_A (A \in GL(2,\mathbb{C}) )$ の形に書けることを示せ。

ここで $p_A$ は $A = $ \begin{matrix}{cc} a & b \\ c & d \end{matrix} $$ としたとき
$\displaystyle z \mapsto \frac{a z + b}{c z + d}$
で与えられる1次分数変換。

この証明は数ヶ月に学んだ。ちょっと技巧的に証明されていて、なかなか思い付くものではなく、理解するのにも時間がかかった(そのときは杉浦光夫「解析入門II」p255 の命題11.4 でこの証明を読んだ)。
しかるにここでヒントなしの演習問題として出ている。他の演習問題は易しいものばかりなので、この問題だけ難しいとは考えにくい。
$\mathbb{P}^1$ 上の有理型関数はすべて $\mathbb{C}_z$ 上の有理関数からの延長として一意に得られることがわかっている(p14 命題1.10(2))から、これを使えばいいのかな？

1章「リーマン球面 $\mathbb{P}^1$ 」(p21まで)読了。