§2.1読了 - 第2kame日記

§2.1「リーマン面の定義と付随するいくつかの概念」読了。
「多様体の基礎」の復習のような感じ。局所座標系の扱い方について概観して復習できたのでよかった。
このテキストではリーマン面の場合は「点Pでの局所座標系 $(t_p, U_P)$ 」という場合 $t_P(P)=0$ であると仮定することにしている。

$C^{\infty}$ 級多様体の場合と違うのは、点Pが2つの局所座標系 $(t_P,U_P), (s_P,V_P)$ に属しているとき、 $s_P = u\cdot t_P$ を満たす正則関数 $u$ で $u(P)\neq 0$ を満たすものが取れること。すなわち座標変換の関数が正則関数となること。
逆に $P$ の近傍で正則な関数 $u$ で $u(P)\neq 0$ を満たすものがあると、 $t_P$ がPでの局所座標系なら $u\cdot t_P$ もPでの局所座標系となる。