リーマン面間の正則写像

代数曲線論

§2.2「リーマン面からリーマン面への正則写像の性質」に入る。p31〜33まで終了。以下をやった。

  • リーマン面からリーマン面への正則写像でも剛性(一致の定理)が成り立つことを確認した。
  • リーマン面Xの点 P \in Xのある近傍 U上の正則関数 fに対して、その零点の位数は局所座標系の取り方によらず一意に決まる(証明には昨日の座標変換の性質を使う)。
  • fがPを極とするとき、その位数も局所座標系の取り方によらず一意に決まる。この証明はちょっとはまって手間取った。
  • 上の2つから局所座標系によらずに一意に決まる零点および極の位数を、Pにおけるfの位数と呼ぶ。
  • リーマン面Xの領域U上の有理型関数 f:U\to \mathbb{C}を定義した。
  • リーマン面X上の有理型関数 f:X \to \mathbb{C}は、X上の\mathbb{P}^1への正則写像 \tilde{f}: X \to \mathbb{P}^1に一意に延長できることを確認。
  • 定理の証明の過程で、位相空間論のテクニックいくつかを復習。