リーマン球面上の有理型関数

§1.6 まで終了。
整域、商体など代数関連になじみがない。

リーマン球面 $\mathbb{P}^1 = \mathbb{C}_z \cup \mathbb{C}_w$ 上の有理型関数の全体 $\cal{M}_{\mathbb{P}^1}(\mathbb{P}^1)$ は $z$ の有理関数全体と一致する。その証明メモ。

$g$ を $\mathbb{P}^1$ 上の有理型関数とすると、有理型関数の定義によって $g$ の極全体は $\mathbb{P}^1$ 内の離散集合。だから、任意の $P \in \mathbb{P}^1$ に対し $P$ の十分小さな近傍 $U_P$ を取って、 $U_P$ 内の極はたかだか $P$ 1個とすることができる。このとき

$\displaystyle \mathbb{P}^1 = \bigcup_{P \in \mathbb{P}^1} U_P$

で $\{U_P\}_{P \in \mathbb{P}^1}$ は $\mathbb{P}^1$ の開被覆。
$\mathbb{P}^1$ はコンパクトだから、有限個の $P_1,\cdots,P_l \in \mathbb{P}^1$ によって $\mathbb{P}^1$ は覆われる。各 $P_i$ 内の極はたかだか1個だから、 $\mathbb{P}^1$ 上の有理型関数 $g$ の極は有限個しかない。
そこで $g$ の極を $a_1,\cdots,a_m$ と置くことができる。各極 $a_i$ の位数を $n_i$ とする。 $N = \sum_i n_i$ とする。

$\displaystyle h(z) := (z-a_1)^{n_1}\cdots(z-a_m)^{n_m} g(z)$

とおくと h は $\mathbb{C}_z$ 全体で正則ゆえ、 $\mathbb{C}_z$ 全体で一意にテーラー級数展開可能。

$\displaystyle h(z) = \bigsum_{k \ge 0} c_k z^k$

そこで $\mathbb{C}_z$ 上、

$\displaystyle g(z) = \frac{\sum_{k \ge 0} c_k z^k}{(z-a_1)^{n_1}\cdots(z-a_m)^{n_m}}$

と書ける。次に $\mathbb{C}_z \cap \mathbb{C}_w$ 上で関数 g を座標 $w$ で表した場合は、

$\displaystyle \begin{eqnarray} g_w(w) &= &g_z(\frac{1}{w}) \\ &= & \frac{\sum_{k \ge 0} c_k (1/w)^k}{((1/w)-a_1)^{n_1}\cdots((1/w)-a_m)^{n_m}} \\ &= & \frac{w^N \sum_{k} c_k w^{-k}}{w^N ((1/w)-a_1)^{n_1}\cdots((1/w)-a_m)^{n_m}} \\ &= & \frac{\sum_{k} c_k w^{N-k}}{(1-a_1 w)^{n_1}\cdots(1-a_m w)^{n_m}} \\ \end{eqnarray}$

となるが、 $g$ は有理型関数だから、上の分子の $\sum_{k \ge 0} c_k w^{N-k}$ も有理型で多項式の商の形で表せる。そのとき分母の多項式の次数より十分大きな k をとれば、 $c_k = 0$ とならなければならない。だから $\sum_{k \ge 0} c_k z^k$ は有限次数の多項式となる。よって、

$\displaystyle g(z) = \frac{\sum_{k \ge 0} c_k z^k}{(z-a_1)^{n_1}\cdots(z-a_m)^{n_m}}$

は有理関数。