楕円関数体とペー関数(2)

$\Omega := $\omega_1,\omega_2$$ を周期とする楕円関数全体の集合を $K(\Omega)$ と書き、楕円関数体という。 $K(\Omega)$ は複素トーラス $\mathbb{C}/\Omega$ 上の有理関数全体のなす体である。

定理2.10 で以下が証明される：

$\Omega$ を周期とする任意の楕円関数 $f(u)$ は、 $\wp(u)$ の有理式 $F(\wp(u)),G(\wp(u))$ が存在して、

$\displaystyle f(u) = F(\wp(u))+G(\wp(u)) \wp'(u)$

と書ける。

これから

$\displaystyle K(\Omega) = \mathbb{C}(\wp(u),\wp'(u))$

$\wp$ 関数に関しては、微分方程式

$\displaystyle \wp'(u)^2 = \wp(u)^3 - g_2 \wp(u) - g_3$

が成立していた。
これを用いると、 $\mathbb{C}(\wp(u),\wp'(u))$ は体 $\mathbb{C}(\wp(u))$ の2次拡大体であることがわかる。
多項式 $y^2 - x^3 + g_2 x + g_3$ は既約であることから、体 $\mathbb{C}(\wp(u),\wp'(u))$ は、整域
$\displaystyle \mathbb{C}[x,y]/(y^2 - x^3 + g_2 x + g_3)$
の商体となる。

一方、本書の付録Hによると、既約多項式
$\displaystyle C: (y^2 - x^3 + g_2 x + g_3 = 0)$
で定義される代数曲線 $C$ の有理関数体 $\mathbb{C}(C)$ は
$\displaystyle \mathbb{C}[x,y]/(y^2 - x^3 + g_2 x + g_3)$ の商体
に等しい。
(既約多項式 $y^2 - x^3 + g_2 x + g_3$ で生成される $\mathbb{C}[x,y]$ のイデアル $(y^2 - x^3 + g_2 x + g_3)$ は素イデアルであり、従って $\mathbb{C}[x,y]/(y^2 - x^3 + g_2 x + g_3)$ は整域となる。これを代数曲線 $C$ の座標環という。この座標環の商体を代数曲線 $C$ の有理関数体 $\mathbb{C}(C)$ という。)