Weierstrassのζ関数 - 第2kame日記

Weierstrassの $\zeta$ 関数は

$\displaystyle \zeta(u):= \frac{1}{u} + {\sum}'$\frac{1}{u-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{u}{\omega^2}$$

と定義され、

$\displaystyle \zeta'(u) = -\wp(u)$

を満たしていた。
この関数の擬周期性

$\displaystyle \zeta(u+m\omega_1+\omega_2) = \zeta(u)+m\eta_1+n\eta_2$

が示された。

さらに周期平行四辺形の周上で $\zeta(u)$ を一周積分することにより、Legendreの関係式

$\displaystyle 2\pi\sqrt{-1} = \eta_1\omega_2 + \eta_2\omega_1$

が示された。

以上で§2.6読了。

任意の楕円関数 $\varphi(u)$ は、 $\zeta$ 関数を用いて以下のように表示できる：

$\displaystyle \varphi(u) = c_0 + \sum_{i=1}^{r}c_i\zeta(u-a_i)$

ただし周期平行四辺形上の $\varphi(u)$ の極を $a_1,\cdots,a_r$ 、それぞれの極での留数を $c_1,\cdots,c_r$ とする。