Weierstrassのペー関数

§2.1「Weierstrassの $\wp$ 関数」読了。

" $\wp$ 関数" と書いて "ペー関数"と読む。
$\Omega$ を $\omega1,\omega2$ で生成される $\mathbb{C}$ の格子としたとき、 $\wp$ 関数は次のように定義される。

$\displaystyle \wp(u) := \frac{1}{u^2} + \sum_{\omega \in \Omega-\{0\}}$\frac{1}{(u-\omega)^2}-\frac{1}{\omega^2}$$

右辺の級数は収束し 2重周期性を持つ。

$\wp$ 関数は位数2の楕円関数となる。
$\wp'(u)$ は位数3の楕円関数で、3位の極 0 と、1位の零点 $e_1 = \frac{\omega_1}{2}, e_2=\frac{\omega_1+\omega_2}{2}, e_3=\frac{\omega_2}{2}$ を持つ。
$\wp$ 関数は以下の微分方程式を満たす。