しばらくさぼっていたが、とりあえず§3.2終了。 まえがきにこの§は辞書的で読みにくいからさっと流して後で振り返れ、とありがたいお言葉があったのでそれに従うことにした。 環の加群 加群の直和 部分加群 自由加群 Hom 中山の補題 完全列 テンソル積 につ…

§3.2「加群」に入る。 環Aの作用をもつAbel群を A加群という。

ヒルベルトの基底定理 テキストの証明法のギャップが埋まらず、仕方なく図書館で見つけた「代数学」（松村英之、朝倉書店）の証明を追う。証明のフォローは完了。たぶん本質的には同じ証明法だと思う。 根基(radigal)の定義 可換環AのJacobson根基、ベキ零根…

§3.1の最後は局所環。その定義は、 極大イデアルを唯一つ持つ環を、局所環(local ring)という。 これだけだと意味がさっぱりわからないが、リーマン面の方でおなじみだったものを抽象化したものだということがわかる例がある。 それはリーマン面上の点におけ…

ネーター環の多項式環はネーター環である。 証明に超えられないギャップがあり悩む。土日にゆっくり考えてみよう。

§3.1「ネーター環とアルティン環」に入る。 まずは、ネーター環とアルティン環の定義の理解から。

2章を飛ばして3章「可換環論入門」を先にやることに決めた。

40日かかってしまった。 続いて第2章「体のガロワ理論」 第3章「可換環論入門」のどちらに進むべきか思案中。

節末に演習問題が6題。 3日かけて4問できた。わかってみればつまらないところで引っ掛かり、時間を浪費した。あとオイラー数に関する2問が残っている。これが終われば第1章「環」が読了の予定。

一般化された中国剰余定理の証明に使う事実のメモ。 が環のイデアル、が素イデアルのとき、 環のイデアル に対し、を含む極大イデアルは必ず存在する。 が環のイデアルで、を共に含む極大イデアルが存在しないとする。 このとき、 である。

§1.5「中国剰余定理」に入る。 環の直積、ベキ等元について学んだ後、一般化された中国剰余定理 (ただしI,Jは環Aのイデアルで) の証明まで進む。

§1.4「素イデアル、極大イデアル、既約性の判定」読了。第1章は§1.5「中国剰余定理」を残すのみとなった。

§1.4の前半、素イデアルと極大イデアルが終わった。 この節の後半はなぜか多項式の既約性の判定法。 なぜ同じセクションにあるのだろう。ともかく§1.4 は、演習問題を残すのみとなった。 このテキストの演習問題は素直なものが多いと感じる。

§1.4に入る。 素イデアルと極大イデアルの定義を知り、それらの例と簡単な性質をいくつか学んだ。 が環のイデアルのとき、 が素イデアル が整域。 が極大イデアル が体。 空間上の適当な実関数の環に対し、ある点上で0をとるの元である関数全体は極大イデア…

環の同形定理。

§1.3に入る。 環準同型、剰余環の定義まで。

小木曽「代数曲線論」でコンパクトリーマン面を学んだが、複素解析・幾何方面から攻める本だった。代数の方向から見ると、違った風景が見えるらしいのだが、代数の知識が乏しいのでよくわからない。それもくやしいので、環論の基礎を勉強したいと思った。 そ…