Weierstrassのσ関数(4)。§2.8読了

この後、 $\sigma(u)$ のベキ級数展開が以下の形になることが求められる：

$\displaystyle \sigma(u) = u + a_5 u^5 + a_7 u^7 + \cdots$

$a_5,a_7,\cdots,a_{2n+1},\cdots$ は $g_2,g_3$ の有理数係数の多項式として表される。
たとえば、

$\displaystyle a_5 = - \frac{g_2}{240}$
$\displaystyle a_7 = - \frac{g_3}{840}$

§2.8 の最後は、 $\sigma$ 関数の擬周期性について。 $\zeta$ 関数の擬周期性

$\displaystyle \zeta(u+\omega) = \zeta(u) + \eta$

を基に、以下が示されて§2.8 が読了となった。

$\displaystyle \sigma(u + m\omega_1 + n\omega_2) = (-1)^{m+n+mn} \exp$(m \eta_1 + n\eta_2)\(\frac{m\omega_1+n\omega_2}{2}$\) \sigma(u)$

この式が次の§で重要な働きをするらしい。