§3.1つづき - 第2kame日記

ヒルベルトの基底定理

テキストの証明法のギャップが埋まらず、仕方なく図書館で見つけた「代数学」（松村英之、朝倉書店）の証明を追う。証明のフォローは完了。たぶん本質的には同じ証明法だと思う。

根基(radigal)の定義

可換環AのJacobson根基、ベキ零根基、イデアルI⊂Aの根基の定義。

Jacobson根基： $A$ のすべての極大イデアルの交わり。 $Rad(A)$ と書く。

ベキ零根基： $A$ のすべての素イデアルの交わり。 $\mathfrak{N}(A)$ と書く。

$A$ のイデアル $I$ の根基： $I$ を含むすべての素イデアルの交わり。 $\sqrt{I}$ と書く。

根基の特徴付け

可換環 $A$ に対し、

(1) $\displaystyle a \in Rad(A) \Leftrightarrow \forall x \in A, 1-ax \in U(A)$
(2) $\displaystyle a \in \mathfrak{N}(A) \Leftrightarrow a$ はベキ零
(3) $\displaystyle a \in \sqrt{I} \Leftrightarrow \exists n > 0, a^n \in I$