Weierstrassのσ関数(3) - 第2kame日記

$\displaystyle \sigma(u) := u \prod_{\omega \in \Omega-\{0\}}$1-\frac{u}{\omega}$\exp$\frac{u}{\omega}+\frac{u^2}{2\omega^2}$$

より

$\displaystyle \frac{\sigma(u)}{u} = {\prod}' $1-\frac{u}{\omega}$\exp$\frac{u}{\omega}+\frac{u^2}{2\omega^2}$$

であり、両辺のlogをとると、

$\displaystyle \log \sigma(u) - \log u = {\sum}' $\log(1-\frac{u}{\omega}$) + \frac{u}{\omega} +\frac{u^2}{2\omega^2}\) = \int_{0}^{u}$\zeta(u)-\frac{1}{u}$du$

これをuで微分して、

$\displaystyle \frac{\sigma'(u)}{\sigma(u)} - \frac{1}{u} = \zeta(u)-\frac{1}{u}$

より

$\displaystyle \zeta(u) = \frac{\sigma'(u)}{\sigma(u)}$

を得る。これはWeierstrassのζ関数を、整関数の商として表示できたことに意義がある。

さらに $\wp(u) = -\zeta'(u)$ であったので、

$\displaystyle \wp(u) = \frac{\sigma'(u)^2 - \sigma(u)\sigma''(u)}{\sigma(u)^2}$

を得る。これにもWeierstrassの $\wp$ 関数を、整関数の商として表示できたことに意義があるようだ。