局所環

環と体

§3.1の最後は局所環。その定義は、

極大イデアルを唯一つ持つ環を、局所環(local ring)という。

これだけだと意味がさっぱりわからないが、リーマン面の方でおなじみだったものを抽象化したものだということがわかる例がある。
それはリーマン面上の点Pにおける正則関数の芽の集合 A_Pである。
A_Pの元は点Pの近傍Uとその上の正則関数fの組 (f,U)で表される。A_Pに和と積を以下で定義する。

(f,U), (g,W) \in A_Pに対し、

\displaystyle (f,U)+(g,W) =_{\rm{def}} (f+g, U \cap W)
\displaystyle (f,U)\cdot(g,W) =_{\rm{def}} (fg, U \cap W)

これによりA_Pは環となる。
そして、環A_Pは以下のような唯一の極大イデアル \mathfrak{m}を持ち、局所環となる。

f(P)=0を満たす(f,U) \in A_P全体の集合を \mathfrak{m}とする。

\mathfrak{m}が極大イデアルであることは、以下のような準同型\varphiからわかる：

\displaystyle \begin{array}{cccc} \varphi &: & A_P & \to & \mathbb{C} \\ & & (f,U) & \mapsto & f(P) \end{array}

\mathfrak{m}の定義から \rm{ker}\varphi = \mathfrak{m}となり、また\varphiは全射だから準同型定理により

\displaystyle A_P/\mathfrak{m} \simeq \mathbb{C}

となる。 \mathbb{C}は体だから \mathfrak{m}が極大イデアルとなる。
唯一性も容易に示せる。


以上で§3.1読了。