ベクトル場とLie微分

ベクトル場

ちょっと先走り、ちらっと「多様体の基礎」(松本)の第5章をつまみ食いしてみる。
証明をはしょり、結果だけ直感的にイメージしながらざっと読んでみた。
以下メモ。

$M$ を可微分多様体、 $T_p(M)$ を $M$ の $p \in M$ における接空間としたとき、対応
$\Large X: M \ni p \mapsto X_p \in T_p(M)$ を M 上のベクトル場という。
M の座標近傍 $U; x_1,\cdots, x_m$ をとったとき、 $p \in U$ であれば $X_p$ は
$\Large X_p = \sum_{i=1}^{m} \xi_{i} \left(\frac{\partial}{\partial x_i}\right)_p$
と一意に書ける。
M を覆うすべての座標近傍において上のように表したときに、各 $\xi_i$ が $C^{\infty}$ 級であるとき、ベクトル場 $X$ は $C^{\infty}$ 級であるという。
M の二つのベクトル場 $X, Y$ に対してその和を $X + Y = \{X_p + Y_p\}_{p \in M}$ で定義する。
f を M 上の実関数としたとき X の f 倍を $f X = \{f(p) X_p\}$ で定義する。
接空間の元は、p の近傍で定義された $C^{\infty}$ 級関数の空間に対する微分演算子であった。
$f \in C^{\infty}(M)$ に対し、関数 f へのベクトル場 X の作用を
$X f: M \ni p \mapsto X_p(f) \in R$ で定義する。すると、
$\Large X(a f + b g) = a (X f) + b (X g)$
$\Large X(fg) = (X f)g + f(X g)$
が成立するので、X は関数空間 $C^{\infty}(M)$ の1階の微分作用素のようである。
M 上の $C^{\infty}$ 級ベクトル場全体の集合を $\cal{X} (M)$ と書く。
$\cal{X} (M)$ の元は 1階微分作用素とみなされるので、そのまま積を作ると2階の微分作用素とみなされてしまい、積はベクトル場でなくなってしまうが、
$[X, Y] = XY -YX$ で交換子積を定義してやると、2階微分の部分がうまくキャンセルされて1階微分作用素となり、
$[X, Y] \in \cal{X} (M)$ となる。これにより、M 上の $C^{\infty}$ 級ベクトル場全体の集合を $\cal{X} (M)$ は Lie環となる。

微分同相写像とベクトル場

$\Large \varphi: M \rightarrow N$
を $C^{\infty}$ 級微分同相写像、X を M 上のベクトル場としたとき、N 上のベクトル場 $\varphi_{*} X$ を以下で定義する。
$\Large (\varphi_{*}X)_{\varphi(p)} = (d\varphi)_p (X_p)$
ただし $p \in M$ 。
X, Y が M のベクトル場のとき（ $X,Y \in \cal{X}(M)$ のとき)
$\Large \varphi_{*}([X, Y]) = [\varphi_{*}X, \varphi_{*}Y]$
が成り立つ。すなわち $\varphi_{*}$ は交換子積を保存する。