射影空間(3) - 第2kame日記

$P^{m}$ の座標近傍系がどんなものなのか、今ひとつピンとこない。
m=1 の場合を具体的に調べてみよう。

$R^2 - \{0\}$ の開集合 $W_1, W_2$ を以下で定義する。
$\Large W_1 = \{ (x_1, x_2) | x_1 \neq 0 \}$
$\Large W_2 = \{ (x_1, x_2) | x_2 \neq 0 \}$
$W_1, W_2$ はそれぞれ $R^2$ の直線の補集合。 $R^2$ の直線は閉であるから、 $W_1, W_2$ はそれぞれ開集合となる。
$R^2 - \{0\}$ の点に、その点と原点を結ぶ直線を対応させる写像を $\pi$ とすると、 $\pi$ は開写像であることから、 $U_1 = \pi(W_1), U_2 = \pi(W_2)$ で定義された $U_1, U_2$ はそれぞれ $P^{1}$ の開集合となり、さらに
$P^{1} = U_1 \cup U_2$ となっている。
$U_1, U_2$ は $R^{1}$ と同相である。なぜならば、まず $U_1$ について考えると、直線 $x_2 = 1$ と $U_1$ の元 $l$ は 1点で交わる。その交点の座標を $(x_1, 1)$ とすれば $U_1 \ni l \leftrightarrow x_1 \in R^{1}$ の 1:1 対応がつく。この同相写像を $\varphi_1: U_1 \rightarrow R^{1}$ とし、同様にして $\varphi_2: U_2 \rightarrow R^{1}$ も定義する。これにより $P^{m}$ の1次元の座標近傍が定義できた。
初等幾何により、 $U_1, \varphi_1$ と $U_2, \varphi_2$ の間の座標変換の写像が $C^{\infty}$ 級となることが示せる。座標変換の式は $x_1 x_2 = 1$ 。
これで $P^{1}$ が $C^{\infty}$ 級多様体となることがわかった。