部分多様体 - 第2kame日記

いろいろな具体例が出てくる演習問題をやっているがなかなか難しい。

A は B の部分多様体となっていることを示せ。

というタイプの問題。
とくに A や B が $\mathbb{R}^n$ の部分集合の場合、元々 $\mathbb{R}^n$ に入っている自然な座標にまどわされ混乱してしまう。
たくさん演習やって慣れるしかないかな。

混乱の原因は何かというと、テキストでも最初のうちは、ある点の座標近傍をとるとき、
$\Large $U, \varphi$$
と面倒がらないで U から $\mathbb{R}^n$ (の部分集合)への同相写像を使って書いていたが、だんだん横着して $\varphi$ で引き戻した $\mathbb{R}^n$ の座標を直接 U に入っているものとして、
$\Large $U; x_1, x_2, \cdots, x_n$$
のように書くようになったから。確かに便利だが自然な座標が入っていないときは、定義に立ち戻らないと混乱することがよくわかった。