つづき

ということで azuu_ks さんご指摘の通り、微分可能関数でないとだめなので、指数関数を利用して具体的に関数を構築した上で、埋め込み定理を証明しなければならない。
m次元 \mathbb{c}^r級コンパクト多様体の任意の元p は、M がコンパクトゆえに M の有限部分被覆 \{V_j\}_{j=1,\cdots,l}のどれかの V_j に含まれる。p の座標近傍 U をとったとき、p が含まれる V_j を一つとると、 \overline{V_j} 上で 1、U の外で 0、 \overline{V_j} から外に出て U からはずれるまでの間は 0 〜 1 の間の値を取る \mathbb{C}^r級の関数 f_jが取れる。これを元にして M から \mathbb{R}^n への埋め込み写像が容易に作れるので、任意のコンパクト \mathbb{c}^r級コンパクト多様体は \mathbb{R}^n へ埋め込めることがわかった。