線形接続と接続形式(3)

局所枠の変換(つづき)

局所枠が、
$\displaystyle e_{\mu j} = e_{\lambda i} {f_{\lambda \mu}}^{i}_{j}$ と変換されるとき、接続形式 $\theta_{\lambda}$ は $\theta_{\mu}$ へ以下のように変換される：

$\displaystyle \theta_{\mu} = {f_{\lambda \mu}}^{-1} \theta_{\lambda} f_{\lambda \mu} + {f_{\lambda \mu}}^{-1} df_{\lambda \mu}$

証明は、まず $e_{\mu j} = e_{\lambda i} {f_{\lambda \mu}}^{i}_{j}$ の両辺を共変微分する。

左辺：
$\displaystyle \begin{eqnarray} \nabla e_{\mu j} &=& e_{\mu i} \otimes {\theta_{\mu}}^{i}_{j} \\ &=& e_{\mu i} \otimes {\theta_{\mu}}^{i}_{j} \\ &=& $e_{\lambda k} {f_{\lambda \mu}}^{k}_{i} $ \otimes {\theta_{\mu}}^{i}_{j} \\ &=& e_{\lambda k} \otimes $ {f_{\lambda \mu}}^{k}_{i} {\theta_{\mu}}^{i}_{j} $ \end{eqnarray}$

右辺：
$\displaystyle \begin{eqnarray} \nabla $e_{\lambda i} {f_{\lambda \mu}}^{i}_{j}$ &=& \nabla e_{\lambda i} \cdot {f_{\lambda \mu}}^{i}_{j} + e_{\lambda i} \otimes d{f_{\lambda \mu}}^{i}_{j} \\ &=& $e_{\lambda k} \otimes {\theta_{\lambda}}^{k}_{i} $ {f_{\lambda \mu}}^{i}_{j} + e_{\lambda k} \otimes d{f_{\lambda \mu}}^{k}_{j} \\ &=& e_{\lambda k} \otimes $ {\theta_{\lambda}}^{k}_{i} {f_{\lambda \mu}}^{i}_{j} + d{f_{\lambda \mu}}^{k}_{j} $ \end{eqnarray}$

$e_{\lambda k}$ の係数を比較すればOK。

曲率形式

下のように天下りに曲率形式というものが、行列に値を持つ2次微分形式 $\Theta_{\lambda}$ として定義される。

$\displaystyle {\Theta_{\lambda}}^{i}_{j} := d{\theta_{\lambda}}^i_j + {\theta_{\lambda}}^i_k \wedge {\theta_{\lambda}}^k_j$

これを $\nabla$ の曲率形式という。

このとき

$\displaystyle \Theta_{\mu} = f^{-1}_{\lambda \mu} \Theta_{\lambda} f_{\lambda \mu}$

という命題が成立することを証明せよというのが演習問題になっている。これは接続形式の変換則の式を外微分することにより証明することができる。

ゲージ変換群

上の曲率形式の変換則をチェック。
基底変換の行列 $f_{\lambda \mu}$ により、曲率形式 $\Theta_{\lambda}$ が $\Theta_{\mu}$ に写るとき
$\displaystyle \Theta_{\mu} = f^{-1}_{\lambda \mu} \Theta_{\lambda} f_{\lambda \mu}$
という形で表されているわけだから、 $\Theta_{\lambda}, \Theta_{\mu}$ はある一つの一次変換の別の基底における表現行列である。
$e_{\lambda i}, e_{\mu i}$ はファイバー $E_p$ の基底だから、各 $\Theta_{\lambda}$ はファイバー $E_p$ 上の一次変換に値を取る 2次微分形式とみなせる。
$End(E_p) = Hom(E_p, E_p) \simeq E_p \otimes E^{*}_p$ ゆえ、
$\displaystyle \Theta_{\lambda} \in End(E_p) \simeq E_p \otimes E^{*}_p$
と考えることができる。すなわち $\Theta_{\lambda}$ は、
$\displaystyle \Theta_{\lambda} : M \to E \otimes E^{*} \otimes {\wedge}^{2}T^{*}M$
という切断であると見ることができる。