新しい接続を作る - 第2kame日記

双対ベクトル束の場合

$\pi: E \to M$ をベクトル束、 $\nabla$ を $E$ 上の線型接続とする。このとき $E$ のファイバーをその双対空間でおきかえたものを $E^{*}$ と書いて、 $E$ の双対という。
$\nabla$ をベースに $E^{*}$ 上の接続 $\nabla^{*}$ を定義したい。
双対空間の話なので、元の空間の元を介在させないとうまく表せないので、 $s \in \Gamma(E)$ をとる。 $E^{*}$ 上の接続 $\nabla^{*}$ は、 $\Gamma(E^{*})$ から $\Gamma(E^{*} \otimes T^{*} M)$ への線型 $C^{\infty}$ 級写像。そこで、 $\alpha \in \Gamma(E^{*})$ もとる。
この $\forall s \in \Gamma(E)$ と $\forall \alpha \in \Gamma(E^{*})$ に対し、

[tex: \displaystyle \ = d\ - \<\nabla s, \alpha\>]

を満たすものとして、 $E^{*}$ 上の接続 $\nabla^{*}$ を定義する。じっさい、これは矛盾なく定義できることが確認できる。

ベクトル束のテンソル積の場合

同じ $M$ 上のベクトル束、 $E, F$ に対して $\nabla_E$ を $E$ 上の、 $\nabla_F$ を $F$ 上の線型接続とする。このとき $E \otimes F$ 上の線形接続として、以下の $\nabla = \nabla_E \otimes \nabla_F$ が定義できる：

$\displaystyle $\nabla_E \otimes \nabla_F$$\alpha \otimes \beta$ := $\nabla_E \alpha$ \otimes \beta + \alpha \otimes $ \nabla_F \beta$$