線形接続と接続形式(2)

局所枠

一般のベクトル束 $\pi: E \to M$ の線形接続について考える。
$\{U_{\lambda}\}$ を M の開被覆で、各 $U_{\lambda}$ 上局所自明化、すなわち
$\displaystyle E|_{U_{\lambda}} := \pi^{-1}$U_{\lambda}$ \simeq U_{\lambda} \times \mathbb{R}^{r}$
の同型が与えられているとする。
このとき、 $\mathbb{R}^{r}$ の自然な基底 $e_1,\cdots,e_r$ をとることにより、 $E|_{U_{\lambda}}$ の切断 $e_{\lambda 1},\cdots,e_{\lambda r}$ が定義できる：

$\displaystyle e_{\lambda i} : U_{\lambda} \ni p \mapsto e_{\lambda i}(p) := (p, e_i) \in U_{\lambda} \times \mathbb{R}^{r} \simeq E|_{U_{\lambda}}$

これを $\{U_{\lambda}\}$ 上の局所枠といい、各点 $p \in U_{\lambda}$ において、局所枠はファイバー $E_p$ の基底をなす。
この局所枠を利用すると、任意の E の切断 $s \in \Gamma(E)$ は $U_{\lambda}$ 上以下の一次結合に一意に表すことができる。

$\displaystyle s = s^1 e_{\lambda 1} + \cdots + s^r e_{\lambda r} = e_{\lambda i} s^{i}$

ここで各 $s^{i}$ は $U_{\lambda}$ 上の $C^{\infty}$ 級関数。上式最後の項は上下に同じ添字 i があるので、i についての和をとる(アインシュタインの規約)。

接続形式(接続行列)

任意の E の切断 $s \in \Gamma(E)$ をとり、これが上のように

$\displaystyle s = e_{\lambda i} s^{i}$

と表されているとする。このとき s の共変微分を計算すると、

$\displaystyle \begin{eqnarray}\nabla s &= & \nabla$e_{\lambda i} s^{i}$ \\ &= & e_{\lambda i} \otimes ds^{i} + \nabla e_{\lambda i} \cdot s^{i} \end{eqnarray}$

となるから、局所枠 $e_{\lambda i}$ の共変微分 $\nabla e_{\lambda i}$ がわかれば、s の共変微分がわかる。そこで $\nabla e_{\lambda i}$ について考えてみると、 $\nabla$ の値域は $\Gamma$E \otimes T~{*}M$$ であったから、 $\nabla e_{\lambda i}$ は E に値をとる1次微分形式である。したがって M 上の 1次微分形式 ${\theta_{\lambda}}^{i}_{j} \in T^{*}M$ があって、
$\displaystyle \nabla e_{\lambda j} = e_{\lambda i} \otimes {\theta_{\lambda}}^{i}_{j}$
と書くことができる。
テンソル積演算について補足しておくと、 $e_{\lambda i}$ はM上の E に値をとる写像、 ${\theta_{\lambda}}^{i}_{j}$ は M 上の $T^{*}M$ に値をとる写像であるので、 $p \in M$ に対し、
$\displaystyle $e_{\lambda i} \otimes {\theta_{\lambda}}^{i}_{j}$(p) = e_{\lambda i}(p) \otimes ${\theta_{\lambda}}^{i}_{j}$_{p} \in E_p \otimes T^{*}_p M$
である。

${\theta_{\lambda}}^{i}_{j}$ を成分とする r×r行列
$\displaystyle \theta_{\lambda} = $ {\theta_{\lambda}}^{i}_{j} $$
を $U_{\lambda}$ 上の接続形式、あるいは接続行列とよぶ。 $\theta_{\lambda}$ は行列に値をとるM上の1次微分形式と考えることができる。

先日みた曲面の場合と照らし合わせると、曲面上の接平面上にとった $e_1, e_2$ が局所枠、
$\begin{eqnarray} \omega = \left( \begin{array}{cc} 0 & \omega_{1}^{2} \\ -\omega_{1}^{2} & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$
が接続行列であることになる。

接続正式を利用すると、E の切断 $s = e_{\lambda i} s^i$ の共変微分は
$\displaystyle \nabla s = e_{\lambda i} \otimes $ ds^i + {\theta_{\lambda}}^{i}_j s^j $$
と表されることがわかる。

局所枠の変換

局所枠の変換に伴い、接続形式がどのような変換を受けるかを調べる。
$U_{\lambda}$ 上の局所枠 $e_{\lambda 1},\cdots,e_{\lambda r}$ 、 $U_{\mu}$ 上の局所枠 $e_{\mu 1},\cdots,e_{\mu r}$ をとると、 $U_{\lambda} \cap U_{\mu}$ の切断は $e_{\lambda i}, e_{\mu i}$ どちらでも表すことができる。
$e_{\lambda} \to e_{\mu}$ の変換行列を $f_{\lambda \mu}$ とする。すなわち、

$\displaystyle \begin{eqnarray} $e_{\mu 1}, \cdots, e_{\mu r}$ &= & $e_{\lambda 1}, \cdots, e_{\lambda r}$ & \left( \begin{array}{ccc} {f_{\lambda \mu}}^{1}_{1} & \cdots & {f_{\lambda \mu}}^{1}_{r} \\ \vdots & & \vdots \\ {f_{\lambda \mu}}^{r}_{1} & \cdots & {f_{\lambda \mu}}^{r}_{r} \end{array} \right) \end{eqnarray}$

とする。これを微分幾何では成分を用いて
$\displaystyle e_{\mu j} = e_{\lambda i} {f_{\lambda \mu}}^{i}_{j}$
のように表して計算を進めることが多いようである。慣れると結構便利な感じ。

で、上のように局所枠の変換が行われたとき、 $U_{\lambda}$ 上の接続形式 $\theta_{\lambda}$ は $U_{\mu$ 上の接続形式 $\theta_{\mu}$ への変換されるが、この変換は局所枠の変換行列を使って以下のようになる：

$\displaystyle \theta_{\mu} = {f_{\lambda \mu}}^{-1} \theta_{\lambda} f_{\lambda \mu} + {f_{\lambda \mu}}^{-1} df_{\lambda \mu}$