線形接続と接続形式

微分幾何

次に必ずしも自明でない一般のベクトル束 \pi: E \to M の線形接続について考える。
\mathbb{R}^3内の滑らかな曲面 \bf{p} 上の正規直交標構 e_1,e_2,e_3 をとったとき、以下の式が成立した。ここで e_1,e_2は各点の接平面上に取り、e_3はそれらに直交する単位法ベクトルである。(小林昭七「曲線と曲面の微分幾何」参照)

\displaystyle \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c} de_1 \\ de_2 \\ de_3 \\ \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & \omega_1^{2} & \omega_1^{3} \\ -\omega_1^{2} & 0 & \omega_2^{3} \\ -\omega_1^{3} & -\omega_2^{3} & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}


上式より接平面の基底 e_1, e_2 の微分は
d e_1 = \omega_1^{2} e_2 + \omega_1^{3} e_3
d e_2 = -\omega_1^{2} e_1 + \omega_2^{3} e_3
となる。 e_3 は法成分ゆえ、 e_1, e_2 の共変微分は、
\nabla e_1 = \omega_1^{2} e_2
\nabla e_2 = -\omega_1^{2} e_1
ということになる。行列 \bf{\omega} を

\displaystyle \begin{eqnarray} \bf{\omega} = \left( \begin{array}{cc} 0 & \omega_1^{2} \\ -\omega_1^{2} & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}

で定義し、

\displaystyle \begin{eqnarray} \bf{e} = \left( \begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \end{array} \right) \end{eqnarray}

と表すことにすれば、

\displaystyle \nabla \bf{e} = \bf{\omega} \bf{e}

という形で「接続形式」を表すことができた。

これを踏まえて一般のベクトル束の接続形式（接続行列）を定義する。