仕事と運動エネルギー

運動方程式を時間で積分すると、力積と運動量変化の関係式となったが、こんどは空間で積分してみる。
テキスト大学受験の高校生向けなので、空間で積分するのにとりあえず１次元で行っている。しかし、ここでは3次元空間の線積分を行うことにしてみる。
$\Large m\frac{d \bf{v}}{dt} = \bf{F}$
を ${R^3}$ の曲線 ${C}$ に沿って積分すると、
$\Large \int_{C} m\frac{d \bf{v}}{dt}\cdot d{\bf r} = \int_C \bf{F}\cdot d{\bf r}$
左辺を変形してみる。
$\Large \frac{d \bf{r}}{dt} = {\bf v}$
であるから、
$\Large d\bf{r} = {\bf v}dt$
となる。
曲線 ${C}$ は、 ${c}:\bf{R} \rightarrow \bf{R^{3}}$ なる ${C^{\infty}$ 級の関数のことであるので、積分
$\Large \int_{C} m\frac{d \bf{v}}{dt}\cdot d{\bf r}$
は、C の始点、終点におけるパラメータをそれぞれ
$\Large {t_{0}}, {t_{1}}$
とすれば、変数変換により、
$\Large \int_{t_{0}}^{t_{1}} m\frac{d \bf{v}}{dt}\cdot \bf{v}{dt}$
と tに関する積分になる。
$\Large \frac{d}{dt}({\bf {v}}\cdot {\bf {v}}) = 2 \frac{d{\bf v}}{dt}\cdot {\bf v}$
であるから、
$\Large \frac{d}{dt}(\frac{m|{\bf v}|^{2}}{2}) = m\frac{d{\bf v}}{dt}\cdot{\bf v}$
より、
$\Large \int_{C} m\frac{d \bf{v}}{dt}\cdot d{\bf r} = \frac{m|{\bf v}(t_{1})|^{2}}{2} - \frac{m|{{\bf v}(t_{0})}|^{2}}{2}$
となる。
したがって、
$\Large \frac{m|{\bf v}(t_{1})|^{2}}{2} - \frac{m|{{\bf v}(t_{0})}|^{2}}{2} = \int_C \bf{F}\cdot d \bf {r}$
という関係式が導かれた。

$\Large \frac{m|{\bf v}(t)|^{2}}{2}$
を物体m の時刻t における運動エネルギーと呼ぶ。
$\Large \int_C \bf{F}\cdot d \bf {r}$
を物体m が経路Cに沿って移動したとき、力F がした仕事という。
この式を力F がした仕事により、物体mの運動エネルギーが変化したと解釈する。